多重指标

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多重指標是數學中一種方便的表示法,它將指標中的單個整數推廣為多個整數,它可以簡化多元微積分偏微分方程分佈理論中的計算,也便於操作冪級數

定義與運算[编辑]

一個 n-維多重指標是一個由整數構成的向量

\alpha = (\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n)

\alpha, \beta 為多重指標,定義:

\alpha \pm \beta:= (\alpha_{1} \pm \beta_{1},\,\alpha_{2} \pm \beta_{2}, \ldots, \,\alpha_{n} \pm \beta_{n})
\alpha \le \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha_{i} \le \beta_{i} \quad \forall\,i
| \alpha | = \alpha_{1} + \alpha_{2} + \cdots + \alpha_{n}

應用最廣的是非負的多重指標,此時可以定義:

\alpha ! = \alpha_{1}! \cdot \alpha_{2}! \cdots \alpha_{n}!
{\alpha \choose \beta} = \frac{\alpha!}{(\alpha - \beta)! \, \beta!}={\alpha_{1} \choose \beta_{1}}{\alpha_{2} \choose \beta_{2}}\cdots{\alpha_{n} \choose \beta_{n}} (假設 \alpha \geq \beta
x = (x_1, \ldots, x_n),定義 \mathbf{x}^\alpha = x_{1}^{\alpha_{1}} x_{2}^{\alpha_{2}} \ldots x_{n}^{\alpha_{n}}
D^{\alpha} := D_{1}^{\alpha_{1}} D_{2}^{\alpha_{2}} \ldots D_{n}^{\alpha_{n}} 其中 D_{i}^{j}:=\part^{j} / \part x_{i}^{j}

命題. 若 i, k 是非負的 n 維多重指標,且 x=(x_1,\ldots, x_n),則

 D^i x^k = 
\begin{cases} 
  \frac{k!}{(k-i)!} x^{k-i} &  i\le k\\ 
   0 & i \nleq k
  \end{cases}

按定義直接操作即可證明。

應用[编辑]

多元微積分[编辑]

多重指標可以將單變元微積分的許多結果直接推廣到多變元。以下是幾個例子:

多元冪級數:有兩個以上變元的冪級數通常寫成

 s(\mathbf{x}) = \sum_I a_I \mathbf{x}^I

其中 In-維多元指標而 \mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n),以簡化冗長的表法

 s(x_1, \ldots, x_n) = \sum_{i_1, \ldots, i_n} a_{i_1 \ldots i_n} x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n}

多項展開

 \left( \sum_{i=1}^{n}{x_i}\right)^k = \sum_{|\alpha|=k}^{}{\frac{k!}{\alpha!} \, \mathbf{x}^{\alpha}}

萊布尼茨公式:設 u, v 存在夠高階的導數,則

D^{\alpha}(uv) = \sum_{\nu \le \alpha}^{}{{\alpha \choose \nu}D^{\nu}u\,D^{\alpha-\nu}v}

泰勒展開式 對一多元解析函數 f,當 |\mathbf{h}| 充分小時有下述展開

f(\mathbf{x}+\mathbf{h}) =  \sum_{|\alpha| \ge 0} \frac{D^{\alpha}f(\mathbf{x})}{\alpha !}\mathbf{h}^{\alpha}

其實這不外是定義,多元指標在此提供了簡練的表示法。

對於存在夠高階導數的函數,我們也有帶餘項的泰勒展開式

f(\mathbf{x}+\mathbf{h}) = \sum_{|\alpha| \leq n}{\frac{D^{\alpha}f(\mathbf{x})}{\alpha !}\mathbf{h}^{\alpha}}+R_n(\mathbf{x},\mathbf{h})

其中的最後一項(餘項)有多種表法,例如柯西的積分表法:

R_n(\mathbf{x},\mathbf{h})= (n+1) \sum_{|\alpha| =n+1}\frac{\mathbf{h}^\alpha}{\alpha !}\int_0^1(1-t)^nD^\alpha f(\mathbf{x}+t\mathbf{h})\,dt

偏微分算子[编辑]

一個形式上的 n 變元 N-階偏微分算子能以多重指標寫成

P(D) = \sum_{|\alpha| \le N}{}{a_{\alpha}(x)D^{\alpha}}

分部積分:對有界定義域 \Omega \subset \mathbb{R}^n 上的緊支集光滑函數,我們有

\int_{\Omega}{}{u(D^{\alpha}v)}\,dx = (-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}^{}{(D^{\alpha}u)v\,dx}

此公式用以定義分佈弱導數


文獻[编辑]

  • Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9

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