多重线性代数

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数学中,多重线性代数推广了线性代数的方法。和线性代数一样也是建立在向量的概念上,发展了向量空间的理论。在应用上,出现了许多类型的张量。该理论全面囊括了一系列空间以及它们之间的关系。

多重线性代数方式的历史背景[编辑]

这个学科本身有许多不同的起源可以追溯到十九世纪的数学,但是称之为张量分析,或张量计算或张量场。张量在微分几何广义相对论以及许多应用数学分支中的应用发展起来。大约在20世纪中叶,张量的研究转向抽象。布尔巴基学派的专著《多重线性代数》特别流行;事实上,也许“多重线性代数”便是由此发明的。

原因之一是当时在同调代数这个新领域的应用。20世纪40年代代数拓扑的发展给纯代数方式处理张量积注入了新的活力。两个空间同调群的计算涉及到张量积;但是只在最简单的情形,比如环面是直接算出来的(参见万有系数定理)。细微的拓扑现象要求一种更好的概念;从技术上说,需要定义Tor函子

该材料组织得很广泛,包括追溯到赫尔曼·格拉斯曼的想法,从微分形式理论导致了德拉姆上同调中的想法,以及一些更初等的想法比如楔积(推广了叉积)。

布尔巴基将结论以相当苛刻的方式,完全拒绝向量分析中一种处理方式(四元数方法,即,在一般情形,和李群的关系)。他们转而应用一种利用范畴论的新方式,从李群处理方式的观点来看是一种独立的方法。由于这导致了一种更清晰的处理方式,它们可能在纯数学术语中没有对应物。(严格地说,涉及到泛性质方式;这似乎比范畴论更一般,而这两个交替方式的关系也在同一时间被理清了。)

事实上他们所做的是准确的解释了“张量空间”是将多重线性问题简化为线性问题的建构。这种纯代数挑战没有提供几何直观。

将问题重新表述成多重线性代数术语是有好处的,这里有清楚的和良定义的“最好解”:解的限制恰好是你事实上所需要的。一般没有必要引入任何特殊的构造,几何概念或依赖于坐标系。在范畴理论术语中,一切都是完全自然的。

抽象方法的总结[编辑]

原则上抽象方法可以重新获得通过古典方法得到的一切。在实践中可能并不简单。另一方面,“自然”这一概念和广义相对论中的广义协变性原理一致。后者处理张量场流形上逐点变化的张量),但是协变性断言张量语言对广义相对论的恰当表述是不可缺少的。

几十年以后,来自范畴论中相当抽象观点与20世纪30年代赫尔曼·外尔(在他有名的和非常难的著作《经典群》)发展的方法密切相关。在某种方式上,这使理论成为一个圆圈,再次连接了新旧两种观点。

多重线性代数议题[编辑]

本文中所涉及到的题材远少于当前的发展,下面是与之密切相关的一些条目:

更多参见:张量理论术语

从应用观点看[编辑]

多重线性代数以多种不同的形态出现在应用中: