多重线性映射

在线性代数中，多重线性映射是有多个向量变量而对每个变量都是线性的函数。

n个变量的多线性映射也叫做n重线性映射。

如果所有变量属于同一个空间，可以考虑对称、反对称和交替的n重线性映射。后两个是一致的，如果底层的环（或域）有不同于二的特征，否则前两个是一致的。

一般讨论可见多重线性代数。

例子

• 在实数域上的内积（点积）是两个变量的对称双线性函数，
• 矩阵的行列式是方矩阵的列（或行）的斜对称多重线性函数。
• 矩阵的迹数是方矩阵的列（或行）的多重线性函数。
• 双线性映射是多重线性映射。

在n×n矩阵上多重线性映射

可以考虑在有单位元的交换环K上的n×n矩阵上的多重线性函数为矩阵的行（或等价说列）上的函数。设A是这样的矩阵而$a_i$, 1 ≤ i ≤ n是A的行。则多重线性函数D可以写为

$D(A) = D(a_{1},\ldots,a_{n})$，

满足

$D(a_{1},\ldots,c a_{i} + a_{i}',\ldots,a_{n}) = c D(a_{1},\ldots,a_{i},\ldots,a_{n}) + D(a_{1},\ldots,a_{i}',\ldots,a_{n})$，

如果我们设$\varepsilon_j$表示单位矩阵的第j行，我们表示每行$a_{i}$为总和

$a_{i} = \sum_{j=1}^n A(i,j)\varepsilon_{j}$

利用D的多线性我们重写D（A）为

$D(A) = D\left(\sum_{j=1}^n A(i,j)\varepsilon_{j}, a_2, \ldots, a_n\right) = \sum_{j=1}^n A(i,j) D(\varepsilon_{j},a_2,\ldots,a_n)$

继续这种代换于每个$a_i$我们得到，对于1 ≤ i ≤ n

$D(A) = \sum_{1\le k_i\le n} A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n}) D(\varepsilon_{k_{1}},\dots,\varepsilon_{k_{n}})$

所以D(A)是唯一的决定自它如何运算于$D(\varepsilon_{k_{1}},\dots,\varepsilon_{k_{n}})$上。

在2×2矩阵的情况下我们得到

$D(A) = A_{1,1}A_{2,1}D(\varepsilon_1,\varepsilon_1) + A_{1,1}A_{2,2}D(\varepsilon_1,\varepsilon_2) + A_{1,2}A_{2,1}D(\varepsilon_2,\varepsilon_1) + A_{1,2}A_{2,2}D(\varepsilon_2,\varepsilon_2)$，

这裡的$\varepsilon_1 = [1,0]$且$\varepsilon_2 = [0,1]$。如果我们限制D是交替函数，则$D(\varepsilon_1,\varepsilon_1) = D(\varepsilon_2,\varepsilon_2) = 0$且$D(\varepsilon_2,\varepsilon_1) = -D(\varepsilon_1,\varepsilon_2) = -D(I)$。设$D(I) = 1$我们得到在2×2矩阵上行列式函数:

$D(A) = A_{1,1}A_{2,2} - A_{1,2}A_{2,1}$，

性质

多重线性映射有零值，只要它的一个参数是零。

对于n>1，唯一的也是线性映射的n-线性映射是零函数。

参见

• 代数形式
• 多重线性形式
• 齐次多项式
• 齐次函数
• 张量