多项式定理

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

多项式定理二项式定理的推广。t=2时为二项式定理。

(x_1+x_2+...+x_t)^n=\sum\frac{n!}{n_1!n_2!...n_t!}x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_t^{n_t}

其中n_1+n_2+...+n_t=n0\le n_i\le n

n1 n2 n3 ...nt是指一切满足上述条件的非负数组合。

证明[编辑]

数学归纳法[编辑]


对元数t做归纳:
当t=2时,原式为二项式定理,成立。
假设对t-1元成立,则:

\left ( x_1+x_2+...+x_t \right )^{n}
= ((x_1+x_2+...+x_{t-1})+x_t)^{n}
= \sum_{n _t=0}^{n}\frac{n!}{n _t!\left ( n-n_t \right )!}\left ( x_1+x_2+...+x_{t-1} \right )^{n-n _t}x_t^{n _t}
= \sum_{n _t=0}^{n}\frac{n!}{n _t!\left ( n-n_t \right )!}\sum_{n_1+n_2+...+n _{t-1}=n-n _t}\frac{\left ( n-n _t \right )!}{n _1!...n _{t-1}!}x_1^{n _1}...x_{t-1}^{n _{t-1}}x_t^{n _t}
= \sum_{n_1+n_2+...+n _t=n}\frac{n!}{n _1!...n _t!}x_1^{n _1}...x_t^{n _t}
证毕.

组合法[编辑]

n_1+n_2+...+n_t=n中选n_ix_i

\displaystyle \binom{n}{n_1} \binom{n-n_1}{n_2} \binom{n-n_1-n_2}{n_3} ... \binom{n-n_1-n_2-...-n_{t-1}}{n_t}

= \frac{n!(n-n_1)!(n-n_1-n_2)!...(n-n_1-n_2-...-n_{t-1})!}{n_1!(n-n_1)!n_2!(n-n_1-n_2)!n_3!(n-n_1-n_2-n_3)!...n_t!(n-n_1-n_2-...-n_t)!}=\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!...n_t!}[1][2]
证毕.

参见[编辑]

参考资料[编辑]