多项式环

在抽象代數中，多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個環 $R$ 上的多項式環是由係數在 $R$ 中的多項式構成的環，其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中，當 $R$ 為交換環時，多項式環可以被刻劃為交換 $R$-代數範疇中的自由對象。

定義

多項式函數與多項式

在初等數學與微積分中，多項式視同多項式函數，兩者在一般的域或環上則有區別。舉例言之，考慮有限域 $\mathbb{F}_2 := \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 上的多項式

$P(X) = X^2 + X$

此多項式代任何值皆零，故給出零函數，但其形式表法非零。

我們寧願將多項式看作形式的符號組合，以得到較便利的代數理論。且考慮多項式在域擴張之下的性質：就函數觀點，多項式函數在域擴張下的行為頗複雜，上述 $P(X)$ 給出 $\mathbb{F}_2$ 上的零函數，但視為 $\mathbb{F}_4$ 上的多項式函數則非零；而就形式觀點，只須將係數嵌入擴張域即可。

形式定義

於是我們採取下述定義：令 $R$ 為環。一個單變元 $X$ 的多項式 $P(X)$ 定義為下述形式化的表法：

$P(X) = a_m X^m + a_{m - 1} X^{m - 1} + \cdots + a_1 X + a_0$

其中 $a_i$ 屬於 $R$，稱作 $X^i$ 的係數，而 $X$ 視作一個形式符號。兩多項式相等若且唯若每個 $X^i$ 的係數均相同。次數最大的非零係數稱為該多項式的領導係數，或者首項係數。

更嚴謹的說法或許是將多項式定義為係數的序列 $a = (a_n)_{n \geq 0}$，使得其中僅有有限項非零。但是我們在實踐上總是用變元 $X$ 及其冪次表達。

多項式的運算

以下固定環 $R$，我們將推廣初等數學中熟悉的多項式運算。

環結構

多項式的加法由係數逐項相加定義，而乘法則由下列法則唯一地確定：

• 分配律：對所有 $R$ 上的多項式 $P(X),Q(X),R(X)$，恆有

$(P(X) + Q(X)) \cdot R(X) = P(X)R(X) + Q(X)R(X)$

$R(X) \cdot (P(X)+Q(X))=R(X)P(X)+R(X)Q(X)$

• 對所有 $a \in R$，有 $X \, a = a\,X$
• 對所有非負整數 $k, l$，有 $X^k \cdot X^l = X^{k+l}$

運算的具體表法如下：

• $\sum_{i=0}^na_iX^i+ \sum_{i=0}^n b_iX^i=\sum_{i=0}^n(a_i+b_i)X^i$
• $\left(\sum_{i=0}^n a_iX^i\right)\left(\sum_{j=0}^m b_jX^j\right)=\sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{\mu +\nu =k}a_{\mu} b_{\nu}\right)X^k$

當 $R$ 是交換環時，$R[X]$ 是個 $R$ 上的代數。

多項式的合成

設 $P(X) = \sum a_i X^i$ 而 $Q(X)$ 為另一多項式，則可定義兩者的合成為

$(P \circ Q)(X) := \sum_i a_i Q(X)^i$

求值

對於任一多項式 $P(X) = \sum a_i X^i$ 及 $r \in R$，我們可考慮 $P(X)$ 對 $r$ 的求值：

$s_r(P) := \sum_i a_i r^i$

固定 $r \in R$，則得到一個環同態 $s_r : R[X] \rightarrow R$，稱作求值同態；此外它還滿足

$s_r(P \circ Q) = s_{s_r(Q)}(P)$

導數

在微積分中，多項式的微分由微分法則 $(x^k)' = kx^{k-1}$ 確定。雖然一般的環上既無拓撲結構更無完備性，我們仍然可形式地定義多項式的導數為：

$P(X) = \sum_{i=0}^n a_i X^i$

$\Rightarrow P(X)' := \sum_{i=0}^n i a_i X^{i-1}$

這種導數依然滿足 $(PQ)' = P'Q + PQ'$ 與 $(P+Q)' = P' + Q'$ 等性質。對於係數在域上的多項式，導數也可以判定重根存在與否。

多變元的情形

上述定義可以推廣到任意個變元（包括無限個變元）的情形。對於有限變元的多項式環 $R[X_1, \ldots, X_n]$，也可以採下述構造：

先考慮兩個變元 $X, Y$ 的例子，我們可以先構造多項式環 $R[X]$，其次構造 $(R[X])[Y]$。可以證明有自然同構 $(R[X])[Y] \cong R[X,Y]$，例如多項式

$P(X, Y)=X^2Y^2+4XY^2+5X^3-8Y^2+6XY-2Y+7 \in R[X,Y]$

也可以視作

$(X^2+4X-8)Y^2+(6X-2)Y+(5X^3+7) \in (R[X])[Y]$

對 $(R[Y])[X]$亦同。超過兩個變元的情形可依此類推。

性質

• 若 R 是域，則 $R[X]$ 是主理想環（事實上還是個歐幾里德域）。
• 若 R 是唯一分解環，則 $R[X]$ 亦然。
• 若 R 是整環，則 $R[X]$ 亦然。
• 若 R 是諾特環，則 $R[X]$ 亦然；這是希爾伯特基底定理的內容。
• 任一個交換環 $R$ 上的有限生成代數皆可表成某個 $R[X_1, \ldots, X_n]$ 的商環。

在數學中的角色

多項式環對理想的商是構造環的重要技術。例子包括從同餘系 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$構造有限域，或從實數構造複數等等。

弗羅貝尼烏斯多項式是另一個跟多項式環相關的環，此環的乘法係採用多項式的合成而非乘法。