多项式长除法

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多项式长除法代数中的一种算法,用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。是常见算数技巧长除法的一个推广版本。它可以很容易地手算,因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。

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计算

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x-3}.

把被除式、除式按某个字母作降幂排列,并把所缺的项用零补齐,写成以下这种形式:

\frac{x^3 - 12x^2 + 0x - 42}{x-3}.

然后商和余数可以这样计算:

  1. 将分子的第一项除以分母的最高次项(即次数最高的项,此处为x)。结果写在横线之上(x3 ÷ x = x2).
    
\begin{matrix}
x^2\\
\qquad\qquad\quad x-3\overline{) x^3 - 12x^2 + 0x - 42}
\end{matrix}
  2. 将分母乘以刚得到结果(最终商的第一项),乘积写在分子前两项之下(同类项对齐) (x2 · (x − 3) = x3 − 3x2).
    
\begin{matrix}
x^2\\
\qquad\qquad\quad x-3\overline{) x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\
\qquad\;\; x^3 - 3x^2
\end{matrix}
  3. 从分子的相应项中减去刚得到的乘积(消去相等项,把不相等的项结合起来),结果写在下面。((x3 − 12x2) − (x3 − 3x2) = −12x2 + 3x2 = −9x2)然后,将分子的下一项“拿下来”。
    
\begin{matrix}
x^2\\
\qquad\qquad\quad x-3\overline{) x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\
\qquad\;\; \underline{x^3 - 3x^2}\\
\qquad\qquad\qquad\quad\; -9x^2 + 0x
\end{matrix}
  4. 把减得的差当作新的被除式,重复前三步(直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止.被除式=除式×商式+余式 )
    
\begin{matrix}
\; x^2 - 9x\\
\qquad\quad x-3\overline{) x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\
\;\; \underline{\;\;x^3 - \;\;3x^2}\\
\qquad\qquad\quad\; -9x^2 + 0x\\
\qquad\qquad\quad\; \underline{-9x^2 + 27x}\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -27x - 42
\end{matrix}
  5. 重复第四步。这次没什么可以“拿下来”了。
    
\begin{matrix}
\qquad\quad\;\, x^2 \; - 9x \quad - 27\\
\qquad\quad x-3\overline{) x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\
\;\; \underline{\;\;x^3 - \;\;3x^2}\\
\qquad\qquad\quad\; -9x^2 + 0x\\
\qquad\qquad\quad\; \underline{-9x^2 + 27x}\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -27x - 42\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \underline{-27x + 81}\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; -123
\end{matrix}

横线之上的多项式即为商,而剩下的 (−123) 就是余数。

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x-3} = \underbrace{x^2 - 9x - 27}_{q(x)}  \underbrace{-\frac{123}{x-3}}_{r(x)/g(x)}

算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形,即所有 x 被替换为10的情形。

除法变换[编辑]

使用多项式长除法可以将一个多项式写成 除数-商 的形式(经常很有用)。 考虑多项式 P(x), D(x) ((D)的次数 < (P)的次数)。 然后,对某个商多项式 Q(x) 和余数多项式 R(x) ((R)的系数 < (D)的系数),

\frac{P(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)} \implies P(x) = D(x)Q(x) + R(x).

这种变换叫做除法变换,是从算数等式 {\mathrm{dividend} = \mathrm{divisor} \times \mathrm{quotient} + \mathrm{remainder} }.[1] 得到的。

应用[编辑]

多项式的因式分解[编辑]

有时某个多项式的一或多个根已知,可能是使用Rational root theorem英语 得到的。如果一个n次多项式 P(x)的一个根r已知,那么P(x) 可以使用多项式长除法因式分解为(x-r)Q(x)的形式,其中Q(x)是一个n-1次的多项式。简单来说,Q(x)就是长除法的商,而又知rP(x)的一个根、余式必定为零。

相似地,如果不止一个根是已知的,比如已知rs这两个,那么可以先从P(x)中除掉线性因子x-r得到Q(x),再从Q(x)中除掉 x-s,以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子x^2-(r+s)x+rs

使用这种方法,有时超过四次的多项式的所有根都可以求得,虽然这并不总是可能的。例如,如果 Rational root theorem英语可以用来求得一个五次方程的一个(比例)根,它就可以被除掉以得到一个四次商式;然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。

寻找多项式的切线[编辑]

多项式长除法可以用来在给定点上查找给定多项式的切线方程。[2] 如果 R(x) 是 P(x)/(x-r)2 的余式——也即,除以 x2-2rx+r2——那么在 x=r 处 P(x) 的切线方程是 y=R(x),不论 r 是否是 P(x) 的根。

参见[编辑]

引用[编辑]

  1. ^ S. Barnard. Higher Algebra. READ BOOKS. 2008: 24. ISBN 1443730866. 
  2. ^ Strickland-Constable, Charles, "A simple method for finding tangents to polynomial graphs", Mathematical Gazette 89, November 2005: 466-467.