大卫·希尔伯特

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大卫·希尔伯特
David Hilbert 1886.jpg
大卫·希尔伯特 (1886年)
出生 1862年1月23日(1862-01-23)
普鲁士柯尼斯堡
逝世 1943年2月14日(81歲)
德国哥廷根
居住地 德国
国籍 德国
研究領域 数学哲学
任职於 柯尼斯堡大学
哥廷根大学
著名成就 希尔伯特基底定理英语Hilbert's_basis_theorem
公理化几何英语Hilbert's axioms
希尔伯特的23个问题
希尔伯特计划
爱因斯坦-希尔伯特作用量
希尔伯特空间
受影响于 伊曼努爾·康德[1]
獲獎 罗巴切夫斯基奖章
柏林科学院荣誉院士
ForMemRS[2]

大卫·希尔伯特David Hilbert,1862年1月23日-1943年2月14日),德国数学家,是19世纪和20世纪初最具影响力的数学家之一。希尔伯特1862年出生于哥尼斯堡,1943年在德国哥廷根逝世。他因为发明了大量的思想观念(例:不变量理论公理化几何英语Hilbert's axioms希尔伯特空间)而被尊为伟大的数学家、科学家

他提出了希尔伯特空间的理論,是泛函分析的基礎之一[3]。他热忱地支持康托集合论与无限数。他在数学上的领导地位充分体现于:1900年,在巴黎国际数学家大会提出的一系列问题希尔伯特的23个问题)为20世纪的许多数学研究指出方向。

希尔伯特和他的学生为形成量子力学广义相对论的数学基础做出了重要的贡献。他还是证明论数理逻辑、区分数学元数学之差别的奠基人之一[4]

早年[编辑]

希尔伯特的出生地哥尼斯堡拓扑学的发祥地,也是哲学家康德的故乡。每年4月22日,康德的墓穴都会对公众开放。此时,年幼的希尔伯特总会被母亲带去,向这位伟大的哲学家致敬。

希尔伯特八岁时入学,比当时一般孩子晚两年。他所就读的冯检基书院(Friedrichskolleg)[可疑正是当年康德的母校。

希尔伯特的著作有《希尔伯特全集》、《几何基础》、《线性积分方程一般理论基础》等。1928年他與威廉·阿克曼合写《理论逻辑原理》(Grundzuge der Theoretischen Logik)。

解決高爾頓問題[编辑]

希尔伯特早期在研究不變函數,在1888年提出了有限性定理。在二十年前,保羅·高爾頓利用複雜的計算方式,提出了二個變數有限性定理的產生子,但在試圖推展到三個變數時,因為計算的複雜度而失敗。為了解決現在稱為「高爾頓問題」的問題,希尔伯特認為他需要用一個完全不同的方式才能解決問題,因此提出了希爾伯特基定理英语,證明對於任意變數的多項式,存在有限個產生子,但這是一個存在性證明,不是一個建構式證明[5],而且需要以排中律的延伸為基礎。

希尔伯特將研究結果發表到《数学纪事》,而高爾頓是数学纪事中關於不變函數的權威,不欣賞希尔伯特的革命性想法,認為不夠全面性,因此于以退稿,高爾頓的評論是:

Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie.
(這不是數學,這是神學)[6]

不過Klein注意到希尔伯特研究的重要性,保證這篇論文可以在沒有任何更改的情形下出版。由於Klein的鼓勵,希尔伯特將此方式擴充後再度投稿到《数学纪事》,Klein在閱讀手稿後,寫信給希尔伯特,說:

無疑的這是《数学纪事》在一般幾何領域刊載過最重要的論文[7]

在希尔伯特的方式廣為認同之後,高爾頓也說:

我相信即使是神學也有其可取之處[8]

幾何學公理化[编辑]

希尔伯特在1899年發行《幾何基礎德语Grundlagen der Geometrie》教材,其中用希尔伯特公理英语Hilbert's axioms來取代傳統歐幾里得提出的公理,其好處是可以避免一些歐幾里得公理中的一些弱點。因為希尔伯特曾針對公理修改了好幾次,若不參考幾何基礎的各個版本,很難找出那些公理是希尔伯特所用的。最早的原稿很快就翻譯成法文,其中希尔伯特加了公理二Completeness Axiom。希尔伯特授權的英文翻譯是由E.J. Townsend在1902年翻譯[9]。這個版本加入了法文版的變更,因此可以算是第二版的翻譯。希尔伯特繼續在德文版修改了好幾次,他修改的最後一版是第七版,之後仍有新的版本,但本文大致上沒有變更。

希尔伯特的方式也表示數學方式開始轉移到現代的公理系统。公理不是一些不證自明的事實。幾何學處理「物體」,不過不一定需要針對未定義的概念給予明確的定義。幾何學的元素,如直線平面等可以用桌子、椅子等物體所取代。幾何學探討的是他們之間的關係。

希尔伯特一開始列舉了一些未定義的概念:點、直線、面、在……上、在……之間、二對點(線段)的全等的全等。這些公理將歐幾里得的平面幾何立體幾何整合成單一的系統。

希爾伯特的23個問題[编辑]

1900年,希尔伯特巴黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲,提出了23道最重要的数学问题,这就是著名的希尔伯特的23个问题[10]。希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用。在许多数学家努力下,希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。

希尔伯特问题中未能包括拓扑学微分几何等领域,除数学物理外很少涉及应用数学,更不曾预料到电脑发展将对数学的产生重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。

希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题,7-12是数论问题,13-18属于代数几何问题,19-23属于数学分析

# 主旨 進展 說明
第1题 连续统假设 部分解决 1963年美国数学家保羅·柯恩以力迫法(forcing)證明連續統假設不能由ZFC推導。也就是說,連續統假設成立與否無法由ZFC確定。
第2题 算术公理之相容性 已解决 庫爾特·哥德爾在1930年證明了哥德爾不完備定理
第3题 四面體有相同体积之证明法 已解决 希爾伯特的學生馬克斯·德恩以一反例證明了是不可以的。
第4题 建立所有度量空间使得所有线段为測地線 太隐晦 希爾伯特對於這個問題的定義過於含糊。
第5题 所有连续是否皆为可微群 已解决 1953年日本數學家山邊英彥已得到完全肯定的结果。
第6题 公理化物理 非数学 對於物理学能否全盘公理化,有很多人質疑。
第7题 b無理數a是非01代數數,那么ab是否超越數 已解決 分別於1934年、1935年由蓋爾范德Theodor Schneider獨立地解決。
第8题 黎曼猜想哥德巴赫猜想孪生素数猜想 未解决 没有任何进展。
第9题 任意代数数域的一般互反律 部分解决 1921年日本的高木贞治,1927年德国的埃米爾·阿廷(E.Artin)各有部份解答。
第10题 不定方程可解性 已解决 1970年苏联数学家尤里·马季亚谢维奇证明:在一般情况答案是否定的。
第11题 代数系数之二次形式 已解决 有理數的部分由哈塞於1923年解決,實數的部分則由希格爾於1930年解決。
第12题 扩展代數數 已解决 1920年高木貞治開創了阿貝爾類域理論。
第13题 以二個參數函數解任意七次方程 已解决 1957年柯尔莫哥洛夫弗拉基米尔·阿诺尔德證明其不可能性。
第14题 证明一些函數完全系統(Complete system of functions)之有限性 已解决 1962年日本人永田雅宜提出反例。
第15题 舒伯特列举微积分(Schubert's enumerative calculus)之严格基础 部分解决 一部分在1938年由范德瓦登得到嚴謹的證明。
第16题 代数曲线表面拓撲結構 未解决
第17题 有理函數写成平方和分式 已解决 1927年埃米爾·阿廷(Emil Artin)已解決實封閉域。
第18题 非正多面體能否密铺空间、球體最紧密的排列 部分解决 1910年比伯巴赫做出「n維空間由有限多個群嵌成」。
第19题 拉格朗日系统(Lagrangian)之解是否皆可解析(Analytic) 已解决 1904年由俄国数学家伯恩施坦‎解決。
第20题 所有有边界條件的变分问题(Variational problem)是否都有解 已解决
第21题 证明有线性微分方程有給定的單值群(monodromy group) 已解决
第22题 自守函數(Automorphic functions)一致化可解析关系 已解决 1904年由科比龐加萊取得解決。
第23题 變分法的长远发展 未解決

數論[编辑]

希尔伯特在1897年提出了代數數論領域的《数论报告英语Zahlbericht》,也解答了1770年提出的華林問題,配合有限性定理,希尔伯特找到一個存在性的證明,證明華林問題的解存在,而不是直接找到計算的方式[11],他原來要針對此問題作一點深入的研究,但希爾伯特模形式的出現使他開始進入另一個領域中。

希尔伯特有許多有關類域論的猜想,這些概念相當的有影響力。此領域中的希爾伯特類域英语Hilbert class field希爾伯特符號以他得名。在高木貞治的研究後,大部份的猜想都在1930年代證明,這些研究也使高木貞治成為第一個有國際地位的日本數學家。

希尔伯特的研究沒有涉及解析数论,但他的名字也出現在希尔伯特-波利亚猜想[12]

参阅[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ Richard Zach, "Hilbert's Program", The Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  2. ^ Weyl, H.. David Hilbert. 1862-1943. Obituary Notices of Fellows of the Royal Society. 1944年, 4 (13): 547–526. doi:10.1098/rsbm.1944.0006.  编辑
  3. ^ David Hilbert. Encyclopædia Britannica. 2007年 [2007-09-08]. 
  4. ^ Zach, Richard. Hilbert's Program. Stanford Encyclopedia of Philosophy. 2003-07-31 [2009-03-23]. 
  5. ^ Constance Reid 1996, pp. 36–37.
  6. ^ Reid 1996, p. 34.
  7. ^ Rowe, p. 195
  8. ^ Reid 1996, p. 37.
  9. ^ Hilbert 1950
  10. ^ 希爾伯特的23個數學問題. 中央研究院數學研究所. [2014-03-03] (中文). 
  11. ^ Reid 1996, p. 114
  12. ^ 十万亿个证据不如一个证明——猜猜黎曼猜想的命运. 南方週末. 2012-03-30 [2014-03-04] (中文). "不过这个希尔伯特-波利亚猜想本身也颇有一些离奇的地方,……,却惊讶地发现无论希尔伯特还是波利亚,居然都不曾在任何文字之中述及过这个猜想。" 
  • Reid, Constance, 1996. Hilbert, Springer Science and Business Media|Springer, ISBN 0-387-94674-8. The definitive English-language biography of Hilbert.

外部链接[编辑]