大数定律

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大数定律又称大数法则、大数律,是個數學統計學的概念,意指數量越多,則其平均就越趨近期望值

人们发现,在重複試驗中,随着试验次数的增加,事件发生的频率趋于一个稳定值;人们同时也发现,在对物理量的测量实践中,测定值的算术平均也具有稳定性。

比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,但当我们上抛硬币的次数足够多后,达到上万次甚至几十万几百万次以后,我们就会发现,硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。偶然必然中包含着必然。

切比雪夫定理的一个特殊情况、辛钦定理伯努利大数定理都概括了这一现象,都称为大数定律。

表现形式[编辑]

大数定理主要有两种表现形式:弱大数定理强大数定理

弱大数定理[编辑]

弱大数定理陈述为:让 X_1,X_2,\ldots,X_n 为独立同分布的随机变量,且其期望有限。让 S_n=X_1+\ldots+X_n, \mu=EX;则 S_n/n 依概率收敛\mu[1]

切比雪夫定理的特殊情况[编辑]

a_1 , a_2 , ... , a_n , ... 为相互独立的随机变量,其数学期望为: E(a_i) = \mu (i = 1,2,...) 方差为: Var(a_i) = \sigma^2 (i=1,2,...)

则序列\overline{a}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i依概率收敛\mu(即收敛于此数列的数学期望E(a_i))。

换言之,在定理条件下,当n无限变大时,n个随机变量的算术平均将变成一个常数。

辛钦定理[编辑]

a_1 , a_2 , ... , a_n , ...为服从同一分布且相互独立的随机变量,其数学期望为: E(a_i) = \mu (i = 1,2,...)

则对任意正数 \varepsilon >0 ,下式成立:

 \lim_{n \to \infty}{P{\left\{ \left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i - \mu \right| < \varepsilon \right\}}} = 1

伯努利大数定理[编辑]

设在n次独立重复伯努利试验中,
事件X发生的次数为 n_x
事件X在每次试验中发生的母體機率为p
 n_x/n代表樣本發生事件X的频率。

大数定理可用機率極限值定義: 则对任意正数 \varepsilon >0 ,下式成立:

 \lim_{n \to \infty}{P{\left\{ \left|\frac{n_x}{n} - p \right| < \varepsilon \right\}}} = 1

定理表明事件发生的频率依機率收敛于事件的母體機率。
定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。
就是说当n很大时,事件发生的频率于母體機率有较大偏差的可能性很小。

参见[编辑]

  1. http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_16_06_1/

参考文献[编辑]

  1. ^ Rick Durrett. Probability: Theory and Examples. Cambridge University Press. 2010: 61. ISBN 978-0-521-76539-8 Hardback (英文).