大数定律

大数定律又称大数法则、大数律，是個數學與統計學的概念，意指數量越多，則其平均就越趨近期望值。

人们发现，在重複試驗中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；人们同时也发现，在对物理量的测量实践中，测定值的算术平均也具有稳定性。

切比雪夫定理的一个特殊情况、辛钦定理和伯努利大数定理都概括了这一现象，都称为大数定律。

切比雪夫定理的特殊情况

设 $a_1 , a_2 , ... , a_n , ...$ 为相互独立的随机变量，其数学期望为：$E(a_i) = \mu$ $(i = 1,2,...)$，方差为：$Var(a_i) = \sigma^2 (i=1,2,...)$

则序列$\overline{a}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i$依概率收敛于$\mu$（即收敛于此数列的数学期望$E(a_i)$）。

换言之，在定理条件下，当$n$无限变大时，$n$个随机变量的算术平均将变成一个常数。

辛钦定理

设 $a_1 , a_2 , ... , a_n , ...$为服从同一分布且相互独立的随机变量，其数学期望为：$E(a_i) = \mu$ $(i = 1,2,...)$，

则对任意正数$\varepsilon >0$，下式成立：

$\lim_{n \to \infty}{P{\left\{ \left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i - \mu \right| < \varepsilon \right\}}} = 1$

伯努利大数定理

设在$n$次独立重复试验中，事件$X$发生的次数为$n_x$。事件$X$在每次试验中发生的概率为$p$。

则对任意正数$\varepsilon >0$，下式成立：

$\lim_{n \to \infty}{P{\left\{ \left|\frac{n_x}{n} - p \right| < \varepsilon \right\}}} = 1$

定理表明事件发生的频率依概率收敛于事件的概率。定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。

参见

• 概率论