大数定律

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大数定律又称大数法则、大数率。人们发现，在一个随机事件中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；人们同时也发现，在对物理量的测量实践中，测定值的算术平均也具有稳定性。

切比雪夫定理的一个特殊情况、辛钦定理和伯努利大数定理都概括了这一现象，都称为大数定律。

[编辑] 切比雪夫定理的特殊情况

设 $a 1, a 2,..., a n,...$ 为服从同一分布且相互独立的随机变量，

其数学期望为 $E (a i) = μ$ $(i = 1,2,...)$ ，方差为 $D (a i) = σ 2 (i = 1,2,...)$

则序列 $\overline{a}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i$ 依概率收敛于 $μ$ （即收敛于此数列的数学期望 $E (a i)$ ）。

换言之，在定理条件下，当 $n$ 无限变大时， $n$ 个随机变量的算术平均将变成一个常数。

设 $a 1, a 2,..., a n,...$ 为服从同一分布且相互独立的随机变量，其数学期望为： $E (a i) = μ$ $(i = 1,2,...)$ ，

则对任意正数 $\varepsilon >0$ ，下式成立：

$\lim_{n \to \infty}{P{\left\{ \left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i - \mu \right| < \varepsilon \right\}}} = 1$

设在 $n$ 次独立重复试验中，事件 $X$ 发生的次数为 $n x$ 。事件A在每次试验中发生的概率为 $p$ 。

则对任意正数 $\varepsilon >0$ ，下式成立：

$\lim_{n \to \infty}{P{\left\{ \left|\frac{n_x}{n} - p \right| < \varepsilon \right\}}} = 1$

定理表明事件发生的频率依概率收敛于事件的概率。定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。

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