失踪的正方形

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Missing Square Animation.gif

失蹤的正方形谜题是一種用于數學課的視错觉,有助於學生對幾何圖形的思考。它描述兩種面積板塊形狀組合,每個顯然的都構成一個13X5直角三角形,不過其中一個裡頭有個1x1的孔。

解釋[编辑]

Missing square puzzle.svg

根據美國業餘數學大師馬丁·加德納指出,本謎題是在1953年是由紐約市業餘魔術師保羅·嘉理(Paul Curry)發明的。不過裁切悖論的原理自從1860年代就已為數學家所知了。

這謎題的關鍵是實際上兩個13x5的多边形并不是三角形,目测不容易察觉到红色和蓝色三角形斜边的斜率有差别。 因此误以为两个组合成的图形都是三角形。

四個圖形(黃色、紅色、藍色和綠色圖形)總共佔32個單位面積,但是外面總三角形是寬13高5,合計32.5單位。藍色三角形長寬比為5:2,紅色三角則是8:3,並且這些不是同一個長寬比。因此在每個圖中外觀上加成後的斜邊實際上縮短了。

總共縮短的長度大約是一單位的28分之一,這在此謎題示例圖上很難以看出。注意在藍色紅色斜邊交界處的網格點,如果將它與另一張圖的對應交界點比較,邊緣稍稍溢出或者低於格點。來自兩張圖重疊後溢出的斜邊導致一個非常細微的平行四邊形,佔據了剛好一格大小的面積,恰洽是第二張圖「消失」的區域。

變種[编辑]

消失的小正方形謎題
森姆·萊特的悖論裁切

本謎題另類且較簡單的版本(在動畫裡顯示)使用四個相等的四邊形以及一個小正方形,则組成一個較大的正方形。當四邊形繞著其中心旋轉,中間的小正方形將被填滿,即使該圖的總面積看起來沒有變動。這外表上的悖論可由新形成的方形四邊較原來的小了一點。如果 a 代表大正方形的四邊和,且\theta 是每個四邊形相對邊間的夾角,那兩個旋轉前旋轉後方塊面積間相除的商結果是\sec^2\theta-1。對於\theta = 5^{\operatorname{\omicron}},結果大約是1.00765,故對應的差異大約0.8%。

外部連結[编辑]