奇偶檢驗矩陣

在編碼理論裡，一個奇偶檢驗矩陣的線性區塊碼(linear block codes) C是生成矩陣的雙代碼 。因此，一個碼字C是在C若且唯若 矩陣向量乘積H^Tc=0。

奇偶檢驗矩陣的行是奇偶檢驗在碼字(codewords)上的代碼。這就是說，它們表示線性組合中某些數字的每一個有效碼字等於零。

範例，奇偶檢驗矩陣

$H = \begin{bmatrix} 0011\\ 1100 \end{bmatrix}$

明確表示每個有效碼字，數字1和2應總和為零且數字3和4要總和為零。

更多的資訊請見漢明碼 和 生成矩陣。

建立奇偶檢驗矩陣

奇偶校驗矩陣的某一特定代碼可以來自其生成矩陣(反之亦然)。假如生成矩陣的$[n,k]$代碼是標準格式

$G = \begin{bmatrix} I_k | P \end{bmatrix}$,

則給定奇偶檢驗矩陣

$H = \begin{bmatrix} -P^T | I_{n-k} \end{bmatrix}$,

因為

$G H^T = P-P = 0$.

負的是在有限域mod $q$。注意如果對數的首數在基本域裡是2(例：$1+1=0$ in that field)，如果是二進位，則$-P=P$，所以負數是不必要的。

範例，如果一個二進位代碼的生成矩陣

$G = \begin{bmatrix} 10|101 \\ 01|110 \\ \end{bmatrix}$

則奇偶檢驗矩陣變成

$H = \begin{bmatrix} 11|100 \\ 01|010 \\ 10|001 \\ \end{bmatrix}$

對於任何的有效碼字 $x$, $Hx = 0$。對於任何無效碼字$\tilde{x}$, the syndrome $S$ 滿足$H\tilde{x} = S$。

參考文獻

• Hill, Raymond. A first course in coding theory. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. Oxford University Press. 1986: 69. ISBN 0-19-853803-0. 
• Pless, Vera. Introduction to the theory of error-correcting codes. Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics. John Wiley & Sons. 1982: 8. ISBN 0-471-08684-3. 
• J.H. van Lint. Introduction to Coding Theory. GTM 86 2nd ed. Springer-Verlag. 1992: 34. ISBN 3-540-54894-7.