奇偶檢驗矩陣

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編碼理論裡,一個奇偶檢驗矩陣線性區塊碼(linear block codes)C生成矩陣雙代碼。因此,一個碼字C是在C若且唯若矩陣向量乘積HTc=0

奇偶檢驗矩陣的是奇偶檢驗在碼字(codewords)上的代碼。這就是說,它們表示線性組合中某些數字的每一個有效碼字等於零。

範例,奇偶檢驗矩陣

H =

\begin{bmatrix}
  0011\\
  1100
\end{bmatrix}

明確表示每個有效碼字,數字1和2應總和為零且數字3和4要總和為零。

更多的資訊請見漢明碼生成矩陣

建立奇偶檢驗矩陣[编辑]

奇偶校驗矩陣的某一特定代碼可以來自其生成矩陣(反之亦然)。假如生成矩陣的[n,k]代碼是標準格式

G = \begin{bmatrix} I_k | P \end{bmatrix},

則給定奇偶檢驗矩陣

H = \begin{bmatrix} -P^T | I_{n-k} \end{bmatrix},

因為

G H^T = P-P = 0.

負的是在有限域mod q。注意如果對數的首數在基本域裡是2(例:1+1=0 in that field),如果是二進位,則-P=P,所以負數是不必要的。

範例,如果一個二進位代碼的生成矩陣

G =
\begin{bmatrix}
10|101 \\
01|110 \\
\end{bmatrix}

則奇偶檢驗矩陣變成

H =
\begin{bmatrix}
11|100 \\
01|010 \\
10|001 \\
\end{bmatrix}

對於任何的有效碼字x, Hx = 0。對於任何無效碼字\tilde{x}, the syndrome S滿足H\tilde{x} = S

參考文獻[编辑]