奇点 (数学)

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數學中,奇異點(singularity)或奇點,是數學物件中無法處理的點。一般來說,可以分成兩種狀況:

  • 這個點的值在數學上沒有定義。例如,一個除以零的點。函數 f(x) = 1/xx=0 的點,是一個奇異點;這個點有個性質-它衝往無限。然而,在數學中,無限的值是沒有定義的。在物理中,也儘量避免或除去導致無限的點,雖然在宇宙学中有引力奇點(黑洞奇點)。
  • 或者,在某方面來說,這個點破壞了該數學物件的整體一致性。這個點被稱為病態的(pathological),是良态的反義。一般的例子是:
    • 光滑的曲線或平面(光滑函数)上一個尖起來的點,它破壞了該函數的可微性
    • 連續的曲線中一個斷掉的點,它破壞了該曲線的連續性

不可微的點[编辑]

可微性來說:

  • 曲線 y^2 = xx=0 的點是該曲線的奇異點,因為該點的切線是垂直的。垂直切線(vertical tangent)的斜率是無限,所以該點不可微
  • 绝对值函數 f(x) = \left|x\right|x=0 的點是該函數的奇異點,因為在該點上無法決定斜率,所以該點不可微。
  • 代數集合 \{(x,y):\left|x\right|=\left|y\right|\}x=0 的點是奇異點,因為該點不可微。

不連續的點[编辑]

實變數分析中,奇點是不连续点,或是导数的不連續點。

複分析[编辑]

複分析中,有四类奇点,如下所述。假定 U複數集 C 的一個開子集aU內的一元素,而 f 為定義在去心鄰域U \ {a}下的復可微函數

參見[编辑]

外部連結[编辑]