奈格尔点

三角形（黑色）的奈格尔点（蓝色 N）。红色三角形是外接三角形，橘色圆是旁切圆

欧几里得几何中，任一个三角形伴随有一个奈格尔点（Nagel）。平面内一个三角形 ABC 具有边长 a = |BC|， b = |CA|，和 c = |AB|，设 T_A， T_B，和 T_C 分别是三旁切圆和三条边的切点。直线 AT_A，BT_B， CT_C 共点 交于三角形 ABC 的奈格尔点 N。奈格尔点以十九世纪德国数学家 Christian Heinrich von Nagel命名，他在1836年提到这个点。

另外一种方法构造 T_A，从点 A 出发沿着三角形 ABC 的边走到半周长位置，类似的得到 T_B 和 T_C。因为这个构造，奈格尔点有时也被称为平分周长点（或译界心）。

和其余特殊点的关系

奈格尔点是热尔岗点的等距共轭点。奈格尔点、内心和重心三点共线。内心是中点三角形的奈格尔点（匿名1896年），等价地说奈格尔点是反补三角形的内心。

三线坐标

奈格尔点的三线坐标由 Gallatly （1913年）给出：

$\csc^2(A/2)\,:\,\csc^2(B/2)\,:\,\csc^2(C/2)$

或等价的

$\frac{b + c - a}{a}\,:\,\frac{c + a - b}{b}\,:\,\frac{a + b - c}{c}.$

参考文献

• 匿名. Problem 73. 美国数学月刊. 1896, 3 (12): 329. 

• Baptist, Peter. Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. Sudhoffs Archiv für Geschichte der Medizin und der Naturwissenschaften. 1987, 71 (2): 230–233. MR0936136. 

• Gallatly, William. The Modern Geometry of the Triangle. 2nd ed.. London: Hodgson. 1913:  page 20. 

外部链接

• Nagel Point from Cut-the-knot
• Nagel Point, Clark Kimberling
• Eric W. Weisstein, Nagel Point, MathWorld.

• Nagel Point proof with animation and sound