奥斯特洛夫斯基定理

奥斯特洛夫斯基定理于1916年由亚历山大·奥斯特洛夫斯基证明，任何非平凡的有理数Q的绝对赋值等价于通常实数域的绝对赋值，或等价于p进数的绝对赋值。

定义

定义两个绝对赋值$|\cdot|$ 和$|\cdot|_{\ast}$ 是等价的，如果存在一个实数才c>0，使得：

$|x|_{\ast} = |x|^{c} \mbox{ for all } x \in \mathbb{K}.$

这是比两绝对赋值结构的拓扑同构的更严格的定义。

任何域的平凡绝对赋值被定义为：

$|x|_{0} := \begin{cases} 0, & \mbox{if } x = 0 \\ 1, & \mbox{if } x \ne 0. \end{cases}$

有理数Q的实绝对赋值是正规实绝对赋值，定义为：

$|x|_{0} := \begin{cases} 0, & \mbox{if } x = 0 \\ 1, & \mbox{if } x \ne 0. \end{cases}$

有时下标无穷∞被写成下标1。

对一个素数p，p-adic的绝对赋值的定义如下：

任何非零的，有理数x可以唯一写成$x=p^{n}\dfrac{a}{b}$a，b和p两两互质和一些整数，n∈Z,p进数的绝对赋值的定义：

$|x|_{p} := \begin{cases} 0, & \mbox{if } x = 0 \\ p^{-n}, & \mbox{if } x \ne 0. \end{cases}$

另一个奥斯特洛夫斯基定理

另一个奥斯特洛夫斯基定理指出，任何阿基米德的绝对赋值完备域（从代数结构和拓扑结构方面）要么同构实数域或复数域。这有时也称为奥斯特洛夫斯基定理。

参考

• Gerald J. Janusz. Algebraic Number Fields 2nd edition. American Mathematical Society. 1996, 1997. ISBN 0-8218-0429-4. 
• Nathan Jacobson. Basic algebra II 2nd ed. W H Freeman. 1989. ISBN 0-7167-1933-9. 
• Alexander Ostrowski. Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ(x)·φ(y)=φ(xy). Acta Mathematica 2nd ed. 1918, 41 (1): 271–284. doi:10.1007/BF02422947. ISSN 0001-5962.