奥斯特洛夫斯基定理

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奥斯特洛夫斯基定理是一个关于有理数绝对赋值的定理。于1916年由亚历山大·奥斯特洛夫斯基证明。该定理说明,任何非平凡的有理数Q绝对赋值要么等价于通常实数域的绝对赋值,要么等价于p进数的绝对赋值。

定义[编辑]

定义两个绝对赋值|\cdot||\cdot|_{\ast} 是等价的,如果存在一个实数c>0,使得:

\forall x \in \mathbb{K} , \; \;|x|_{\ast} = |x|^{c} .

这是比两绝对赋值结构的拓扑同构的更严格的定义。

任何域的平凡绝对赋值被定义为:

|x|_{0} := \begin{cases} 0, & \mbox{if }  x = 0  \\ 1,  & \mbox{if } x \ne 0. \end{cases}

有理数\mathbb{Q}的实绝对赋值是正规实绝对赋值,定义为:

|x|_{\infty} := \begin{cases} x, & \mbox{if }  x \geqslant 0  \\ -x,  & \mbox{if } x < 0. \end{cases}

有时下标被写成下标1。

给定素数pp进赋值的定义如下:

任何非零的有理数x可以唯一写成x=p^{n}\dfrac{a}{b}。其中整数abp两两互质。n是整数。xp进赋值为:

|x|_{p} := \begin{cases} 0, & \mbox{if }  x = 0  \\ p^{-n},  & \mbox{if }  x \ne 0. \end{cases}

另一个奥斯特洛夫斯基定理[编辑]

另一个奥斯特洛夫斯基定理指出,任何阿基米德绝对赋值完备域(从代数结构拓扑结构方面)同构于实数域复数域。这有时也称为奥斯特洛夫斯基定理。

参考[编辑]