威克轉動

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物理學中,威克轉動Wick rotation)是一個找尋解的方法,將閔可夫斯基空間中的問題轉到歐幾里得空間中,於其中求解,再逆轉回閔可夫斯基空間中。其所根據的是解析延拓(analytic continuation)。

其動機來自於對表達閔可夫斯基空間的度規所做的觀察,閔可夫斯基度規如下:

ds^2 = -(dt^2) + dx^2 + dy^2 + dz^2

而四維歐幾里得度規為:

ds^2 = dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2

若允許座標t可以具有複數值,則兩者並無不同。當t被限制在虛數軸上時,閔可夫斯基度規變成了歐幾里得度規,反之亦然。若以閔可夫斯基空間中座標x,y,z,t表示一問題,然後將w = it帶入,有時候即可產生在實數歐幾里得座標x,y,z,w所表示的問題,而這樣比較容易得到解。這樣的解可以在之後,透過反向的帶入,產生原本問題的解。

威克轉動以驚人地方式連結了量子力學統計力學。舉例來說,薛丁格方程式(Schrödinger equation)與熱方程式(heat equation)可透過威克轉動而相關連。然而,仍有些許差異,例如:統計力學中的n點函數滿足正性(positivity),而威克轉動下的量子場論(quantum field theory, QFT)則滿足反射正性(reflection positivity)。

威克轉動是以義大利科學家吉安·卡羅·威克為名。它被稱作「轉動」(rotation)是因為當我們將複數表示成平面時,將一複數乘上i等於將代表此複數的向量旋轉了\pi/2的角度。

史帝芬·霍金(Stephen Hawking)在他的知名著作《時間簡史》(A Brief History of Time)中寫下關於「虛數時間」的東西時,他所用到的就是威克轉動。

威克轉動亦將一個處於一有限的溫度倒數(inverse temperature)β之量子場論聯繫到一在「管」R3×S1上的統計力學模型,其中虛數時間座標τ具有週期性,週期為β。

不過要注意到,不能將威克轉動視為在複數向量空間的轉動;複數向量空間具有平常的範數以及由內積又導出的度規,在此之中威克轉動會抵銷調而沒有任何的效應。

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