婆罗摩笈多－斐波那契恒等式

婆罗摩笈多-斐波那契恒等式是以下的恒等式：

$\begin{align} \left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) & {}= \left(ac-bd\right)^2 + \left(ad+bc\right)^2 \ \qquad\qquad(1) \\ & {} = \left(ac+bd\right)^2 + \left(ad-bc\right)^2.\qquad\qquad(2) \end{align}$

这个恒等式说明了如果有两个数都能表示为两个平方数的和，则这两个数的积也可以表示为两个平方数的和。例如，

$(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 30^2 + 1^2 = 26^2 + 15^2.\,$

(1)和(2)都可以用展开多项式的方法来证实。(2)可以通过把(1)中的b换成−b来得出。

这个等式在整数环和有理数环中都成立。更一般地，在任何的交换环中都成立。

它在数论中有很多应用，例如费马平方和定理说明任何被4除余1的素数都能表示为两个平方数的和，则根据婆罗摩笈多-斐波那契恒等式，任何两个被4除余1的素数的积也都能表示为两个平方数的和。

證明

$\begin{align} \left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)&=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\\ &=\left(a^2c^2+b^2d^2{\color{red}-2abcd}\right)+\left(a^2d^2+b^2c^2{\color{red}+2abcd}\right)\\ &=\left(ac-bd\right)^2+\left(ad+bc\right)^2 \end{align}$

而若將${\color{red}-2abcd}$與${\color{red}+2abcd}$互換位置，即可得

$\left(ac+bd\right)^2 + \left(ad-bc\right)^2$

相关等式

四平方和恒等式是一个类似的等式，含有四个平方和，与四元数有关。还有一个八平方和恒等式。

与复数的关系

如果a、b、c和d是实数，那么这个等式与复数的绝对值的乘法性质是等价的，也就是说：

$| a+bi | | c+di | = | (a+bi)(c+di) | \,$

由于

$| a+bi | | c+di | = | (ac-bd)+i(ad+bc) |,\,$

两边平方，得

$| a+bi |^2 | c+di |^2 = | (ac-bd)+i(ad+bc) |^2,\,$

根据绝对值的定义，

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)= (ac-bd)^2+(ad+bc)^2. \,$

用范数来解释

在a、b、c和d是有理数的情况中，这个等式可以解释为域Q(i)的范数是积性的。也就是说：

$N(a+bi) = a^2 + b^2 \,$且$N(c+di) = c^2 + d^2, \,$

而且

$N((a+bi)(c+di)) = N((ac-bd)+i(ad+bc)) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2. \,$

所以，这个等式就是说

$N((a+bi)(c+di)) = N(a+bi) \cdot N(c+di). \,$

参见

• 婆罗摩笈多矩阵
• 复数
• 四平方和恒等式

外部链接

• PlanetMath
• MathWorld