婆罗摩笈多-斐波那契恒等式

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婆罗摩笈多-斐波那契恒等式是以下的恒等式:

\begin{align}
\left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) & {}= \left(ac-bd\right)^2 + \left(ad+bc\right)^2 \  \qquad\qquad(1) \\
& {} = \left(ac+bd\right)^2 + \left(ad-bc\right)^2.\qquad\qquad(2)
\end{align}

这个恒等式说明了如果有两个数都能表示为两个平方数的和,则这两个数的积也可以表示为两个平方数的和。例如,

(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 30^2 + 1^2 = 26^2 + 15^2.\,

(1)和(2)都可以用展开多项式的方法来证实。(2)可以通过把(1)中的b换成−b来得出。

这个等式在整数环有理数环中都成立。更一般地,在任何的交换环中都成立。

它在数论中有很多应用,例如费马平方和定理说明任何被4除余1的素数都能表示为两个平方数的和,则根据婆罗摩笈多-斐波那契恒等式,任何两个被4除余1的素数的积也都能表示为两个平方数的和。

證明[编辑]

\begin{align}
\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)&=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\\
&=\left(a^2c^2+b^2d^2{\color{red}-2abcd}\right)+\left(a^2d^2+b^2c^2{\color{red}+2abcd}\right)\\
&=\left(ac-bd\right)^2+\left(ad+bc\right)^2
\end{align}

而若將{\color{red}-2abcd}{\color{red}+2abcd}互換位置,即可得

\left(ac+bd\right)^2 + \left(ad-bc\right)^2

相关等式[编辑]

四平方和恒等式是一个类似的等式,含有四个平方和,与四元数有关。还有一个八平方和恒等式英语Degen's eight-square identity

与复数的关系[编辑]

如果abcd实数,那么这个等式与複數的绝对值的乘法性质是等价的,也就是说:

  | a+bi |  | c+di | = | (a+bi)(c+di) | \,

由于

  | a+bi |  | c+di | = | (ac-bd)+i(ad+bc) |,\,

两边平方,得

  | a+bi |^2  | c+di |^2 = | (ac-bd)+i(ad+bc) |^2,\,

根据绝对值的定义,

  (a^2+b^2)(c^2+d^2)= (ac-bd)^2+(ad+bc)^2. \,

用范数来解释[编辑]

abcd有理数的情况中,这个等式可以解释为Q(i)的范数是积性的。也就是说:

N(a+bi) = a^2 + b^2 \,N(c+di) = c^2 + d^2, \,

而且

N((a+bi)(c+di)) = N((ac-bd)+i(ad+bc)) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2. \,

所以,这个等式就是说

N((a+bi)(c+di)) = N(a+bi) \cdot N(c+di). \,

参见[编辑]

外部链接[编辑]