婆羅摩笈多公式

歐氏平面幾何中，婆羅摩笈多公式是用以計算四邊形的面積。它最常用於計算圓內接四邊形面積。

基本形式

婆羅摩笈多公式的最簡單易記的形式，是圓內接四邊形面積計算。若圓內接四邊形的四邊長為a, b, c, d，則其面積為：

$\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

其中p為半周長：

$p=\frac{a+b+c+d}{2}$

证明

圆内接四边形的面积 = $\triangle ADB$的面积 + $\triangle BDC$的面积

$= \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin C.$

但由于$ABCD$是圆内接四边形，因此$\angle DAB = 180^\circ - \angle DCB$。故$\sin A = \sin C$。所以：

$\mbox{Area} = \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin A$

$(\mbox{Area})^2 = \frac{1}{4}\sin^2 A (pq + rs)^2$

$4(\mbox{Area})^2 = (1 - \cos^2 A)(pq + rs)^2 \,$

$4(\mbox{Area})^2 = (pq + rs)^2 - cos^2 A (pq + rs)^2. \,$

对$\triangle ADB$和$\triangle BDC$利用余弦定理，我们有：

$DB^2 = p^2 + q^2 - 2pq\cos A = r^2 + s^2 - 2rs\cos C. \,$

代入$\cos C = -\cos A$（这是由于$A$和$C$是互补角），并整理，得：

$2\cos A (pq + rs) = p^2 + q^2 - r^2 - s^2. \,$

把这个等式代入面积的公式中，得：

$4(\mbox{Area})^2 = (pq + rs)^2 - \frac{1}{4}(p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2$

$16(\mbox{Area})^2 = 4(pq + rs)^2 - (p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2, \,$

它是$a^2-b^2$的形式，因此可以写成$(a+b)(a-b)$的形式：

$(2(pq + rs) + p^2 + q^2 -r^2 - s^2)(2(pq + rs) - p^2 - q^2 + r^2 +s^2) \,$

$= ( (p+q)^2 - (r-s)^2 )( (r+s)^2 - (p-q)^2 ) \,$

$= (p+q+r-s)(p+q+s-r)(p+r+s-q)(q+r+s-p). \,$

引入$T = \frac{p+q+r+s}{2}$，

$16(\mbox{Area})^2 = 16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s). \,$

两边开平方，得：

$\mbox{Area} = \sqrt{(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)}.$

证毕。

更特殊情況

若圓O的圆內接四邊形的四邊長為a, b, c, d，且外切于圆C，則其面積為：

$\sqrt{abcd}$

证明

由于四边形内接于圆O，所以：

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

其中p為半周長：

$p=\frac{a+b+c+d}{2}$

又因为四边形外切圆C，所以：

$a+c=b+d$

则：

$p-a=\frac{b+c+d-a}{2}=\frac{a+c+c-a}{2}=c$

同理:

$p-b=d$， $p-c=a$， $p-d=b$

综上：

$S=\sqrt{abcd}$

证毕。

一般情況

對一般四邊形的面積，擴展的婆羅摩笈多公式用到了四邊形的對角和：

$\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-a b c d \cos^2\theta}$

其中$\theta$是四邊形一對角和的一半。（選取另一對角也不會影響答案，因其和的一半是$\pi-\theta$。而$\cos(\pi-\theta)=-\cos\,\theta$，所以$\cos^2(\pi-\theta)=\cos^2\theta$。)

因為圓內接四邊形的對角和為$\pi$，$\theta={\pi\over2}$，而$\cos\,{\pi\over 2}=0$，所以項$abcd\cos^2\theta$為零，給出公式的基本形式。

相關定理

海倫公式給出三角形的面積。它是婆羅摩笈多公式取$d=0$的特殊情形。

婆羅摩笈多公式的基本形式和擴充形式，就像由勾股定理擴充至餘弦定理一般。