婆羅摩笈多公式

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歐氏平面幾何中,婆羅摩笈多公式是用以計算四邊形面積。它最常用於計算圓內接四邊形面積。

基本形式[编辑]

婆羅摩笈多公式的最簡單易記的形式,是圓內接四邊形面積計算。若圓內接四邊形的四邊長為a, b, c, d,則其面積為:

\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}

其中p半周長

p=\frac{a+b+c+d}{2}

证明[编辑]

Brahmaguptas formula.svg

圆内接四边形的面积 = \triangle ADB的面积 + \triangle BDC的面积

= \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin C.

但由于ABCD是圆内接四边形,因此\angle DAB = 180^\circ - \angle DCB 。故\sin A = \sin C 。所以:

\mbox{Area} = \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin A
(\mbox{Area})^2 = \frac{1}{4}\sin^2 A (pq + rs)^2
4(\mbox{Area})^2 = (1 - \cos^2 A)(pq + rs)^2 \,
4(\mbox{Area})^2 = (pq + rs)^2 - cos^2 A (pq + rs)^2. \,

\triangle ADB\triangle BDC利用余弦定理,我们有:

DB^2 = p^2 + q^2 - 2pq\cos A = r^2 + s^2 - 2rs\cos C. \,

代入\cos C = -\cos A(这是由于AC互补角),并整理,得:

2\cos A (pq + rs) = p^2 + q^2 - r^2 - s^2. \,

把这个等式代入面积的公式中,得:

4(\mbox{Area})^2 = (pq + rs)^2 - \frac{1}{4}(p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2
16(\mbox{Area})^2 = 4(pq + rs)^2 - (p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2, \,

它是a^2-b^2的形式,因此可以写成(a+b)(a-b)的形式:

(2(pq + rs) + p^2 + q^2 -r^2 - s^2)(2(pq + rs) - p^2 - q^2 + r^2 +s^2) \,
= ( (p+q)^2 - (r-s)^2 )( (r+s)^2 - (p-q)^2 ) \,
= (p+q+r-s)(p+q+s-r)(p+r+s-q)(q+r+s-p). \,

引入T = \frac{p+q+r+s}{2}

16(\mbox{Area})^2 = 16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s). \,

两边开平方,得:

\mbox{Area} = \sqrt{(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)}.

证毕。

更特殊情況[编辑]

若圓O的圆內接四邊形的四邊長為a, b, c, d,且外切于圆C,則其面積為:

\sqrt{abcd}

证明[编辑]

由于四边形内接于圆O,所以:

S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}

其中p為半周長:

p=\frac{a+b+c+d}{2}

又因为四边形外切圆C,所以:

a+c=b+d

则:

p-a=\frac{b+c+d-a}{2}=\frac{a+c+c-a}{2}=c

同理:

p-b=dp-c=ap-d=b

综上:

S=\sqrt{abcd}

证毕。

一般情況[编辑]

對一般四邊形的面積,擴展的婆羅摩笈多公式用到了四邊形的對角和:

\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-a b c d \cos^2\theta}

其中\theta是四邊形一對角和的一半。(選取另一對角也不會影響答案,因其和的一半是\pi-\theta。而\cos(\pi-\theta)=-\cos\,\theta,所以\cos^2(\pi-\theta)=\cos^2\theta。)

因為圓內接四邊形的對角和為\pi\theta={\pi\over2},而\cos\,{\pi\over 2}=0,所以項abcd\cos^2\theta為零,給出公式的基本形式。

相關定理[编辑]

海倫公式給出三角形的面積。它是婆羅摩笈多公式取d=0的特殊情形。

婆羅摩笈多公式的基本形式和擴充形式,就像由勾股定理擴充至餘弦定理一般。