子序列

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

数学中,某个序列子序列是从最初序列通过去除某些元素但不破坏余下元素的相对位置(在前或在后)而形成的新序列。

正式的说,假设 X 是集合而 (ak)kKX 中的序列,这里的 K = {1,2,3,...,n}, 如果 (ak) 是有限序列,且 K = \mathbb{N} ,当 (ak) 是无限序列。则 (ak) 的子序列是形如  (a_{n_r}) 的序列,这里的 (nr) 是在索引集合 K 中严格递增序列。


定义[编辑]

定义一[编辑]

(a_n)_{n \in \mathbb{N}} 为一实序列及 n_1 < n_2 < n_3 < \cdots 为一组自然数序列。那么,序列

a_{n_1} , a_{n_2} , a_{n_3} , \cdots

(a_n) 的一子序列。其符号表示为 (a_{n_j}),其中 j \in \mathbb{N} 是子序列的索引。

定义二[编辑]

(y_n)_{n \in \mathbb{N}}(a_n)_{n \in \mathbb{N}} 各自为某个序列。那么,(y_n)(a_n) 的一子序列,如果:

  1. (y_n) 是由 (a_n) 的元素所组成。
  2. 存在一严格递增函数 f : \mathbb{N} \to \mathbb{N},使得对所有 n \in \mathbb{N}y_n = a_{f(n)}


例子[编辑]

(a_n)_{n \in \mathbb{N}} 为一序列

 \left( \frac{1}{n} \right)_{n \in \mathbb{N}} = \left( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots \right)

那么,以下序列

(y_n)_{n \in \mathbb{N}} = \left( \frac{1}{n^2} \right)_{n \in \mathbb{N}} = \left( 1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \cdots \right)

(a_n) 的子序列之一。对应定义里的自然数子序列 (n_{1}, n_{2}, n_{3}, \cdots)(n^2)_{n \in \mathbb{N}},而所对应的映射函数为 f(n) = n^2


参考文献[编辑]

  • (英文)Stephen Abbott, Understanding Analysis, Springer, 2010, ISBN 978-1441928665 


参见[编辑]

引用[编辑]

本條目含有来自PlanetMathsubsequence》的材料,版权遵守乃遵守知识共享协议:署名-相同方式共享协议