子空間拓撲

在拓撲學和數學的其他相關領域裡，一個拓撲空間 X 的子空間是指在 X 內的子集 S ，其具有由 X 的拓撲中導出的被稱之為子空間拓撲的自然拓撲。

[编辑] 定義

給定一拓撲空間 $(X,τ)$ 和一 X 內的子集 S ，於 S 上的子空間拓撲被定義為

$\tau_S = \lbrace S \cap U \mid U \in \tau \rbrace.$

亦即， S 的子集於子空間拓撲中為開集若且唯若其為 S 和一於 $(X,τ)$ 內的開集的交集。若 S 被設上子空間拓撲，則其本身即為一拓撲空間，並被稱之為 $(X,τ)$ 的子空間。除非有額外敘述，一般拓撲空間的子集都會假定設有一子空間拓撲。

若 S 為 $(X,τ)$ 內的開集、閉集或稠密集，則分別稱 $(S,τ S)$ 為 $(X,τ)$ 內的一開子空間、閉子空間或稠密子空間。

另外，也可以定義 X 內的子集 S 的子空間拓撲為會使得內含映射

$\iota: S \hookrightarrow X$

更一般地，設 i 為一由集合 S 至拓撲空間 X 的單射，則於 S 上的子空間拓撲即為定義為 i 為連續的最弱拓撲。此拓撲的開集恰好會是 $i - 1 (U)$ 的其中一個，其中的 $U$ 為 X 內的開集。 S 因此同胚於在 X 內的值域（也是帶子空間拓撲），且 i 會被稱之為拓撲嵌入。

給定一具一般拓撲的實數，其自然數（實數的一子空間）的子空間拓撲會是一個離散拓撲。
有理數 Q 做為一個 R 的子空間，不帶有離散拓撲（點 0 在 Q 內不是開集）。
令 S = [0,1) 為實線 R 的一子空間，則 [0,½) 在 S 內為開集，但在 R 內則不是。相似地，[½, 1) 在 S 內為閉集，但在 R 內則不是。 S 為其自身的開子集和閉子集，但做為 R 的子集則兩者皆不是。

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