子群

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群论
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假設(G, *)是一個,若 HG 的一個非空子集且同時 H 與相同的二元運算 * 亦構成一個群,則 (H, *) 稱為 (G, *) 的一個子群。參閱群論

更精確地來說,HG的子群若運算*在H限制也是個在H上的群運算的話。

一個群G純子群是指一個子群H,其為G純子集(即HG)。任一個群的當然群為只包含單位元素的子群{e}。若HG的子群,則G有時會被稱為H的「母群」。

相同的定義可以應用在更廣義的範圍內,當G為一任意的半群,但此一條目中只處理群的子群而已。群G有時會被標記成有序對(G,*),通常用以強調其運算*當G帶有多重的代數或其他結構。

在下面的文章中,會使用省略掉*的常規,並將乘積a*b寫成ab

子群的基本性質[编辑]

  • H是群G的子群若且唯若其為非空集且在乘積和逆運算下為封閉的。(封閉條件是指:任兩個在H內的元素ababa−1都為在H中。這兩個條件可以結合成一個等價的條件:任兩個在H內的abab−1也會在H內。)在H是有限的情狀下,則H是一個子群若且唯若H在乘積下為封閉的。(在此一情形下,每一個H的元素a都會產生一個H的有限循環子群,且a的逆元素會是a−1 = an − 1,其中na的目。)
  • 上述的條件可以用同態來敘述;亦即,H為群G的子群若且唯若HG的子集且存在一個由H映射到G的內含同態(即對每個a,i(a) = a)。
  • 子群的單位元亦是群的單位元:若G是個有單位元素eG的群,且H為具有單位元素eHG的子群,則eH = eG
  • 一個子群內的一元素之逆元素為群內的此元素的逆元素:若H是群G的子群,且ab為會使得ab=ba=eHH內的元素,則ab = ba = eG
  • 子群AB的交集亦為一個子群。但其聯集亦為一個子群若且唯若AB包含著另外一個,像是2和3是在2Z與3Z的聯集中,但其總和5則不是。
  • SG的子集,則存在一個包括S的最小子群,其可以由取得所有包括S的子群之交集來找出;此一最小子群被標記為<S>且稱為S產生的子群G內的一個元素在<S>內若且唯若其為S內之元素的有限乘積且其逆元。
  • G內的每一個元素a都會產生一個循環子群<a>。若<a>同構於某一正整數nZ/nZ,則n會是最小個會使得an = e的正整數,且n被稱為是a的「目」。若<a>同構於Z,則a會被稱有「無限目」。
  • 任一給定的群之子群都會形成一個在內含下的完全格,稱之為子群格。(其最大下界為一般的集合論交集,而其一群子群的最小上界所此些子群之集合論聯集「所產生」的子群。)若eG的單位元素,則其當然群{e}會是群G最小子群,而其最大子群則會是群G本身。

例子[编辑]

有限群[编辑]

G=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}以8為模的加法為二元運算的群(此群亦同時是阿貝爾群)。 其凱萊表

+ 0 4 2 6 1 3 5 7
0 0 4 2 6 1 3 5 7
4 4 0 6 2 5 7 1 3
2 2 6 4 0 3 5 7 1
6 6 2 0 4 7 1 3 5
1 1 5 3 7 2 4 6 0
3 3 7 5 1 4 6 0 2
5 5 1 7 3 6 0 2 4
7 7 3 1 5 0 2 4 6

此凱萊表是故意不用常規的排列法來表明此群有著一對非當然子群J=\{0,4\}H=\{0,2,4,6\},其中 J 亦是 H 的子群。H 的凱萊表是 G 的凱萊表之左上半部。 G 群是循環的,而其子群亦為。一般而言,循環群的子群亦為循環的。

陪集和拉格朗日定理[编辑]

給定一子群HG內的某一元素a,則可定義出一個陪集 aH={ah;hH}。因為a為可逆的,由φ(h) = ah給出之映射φ : HaH為一個雙射。更甚地,每一個G內的元素都包含在恰好一個H的左陪集中;其左陪集為對應於一等價關係的等價類,其等價關係a1 ~ a2若且唯若a1−1a2會在H內。H的左陪集之數目稱之為HG內的「指數」,並標記為[G:H]。

拉格朗日定理敘述著對一個有限群G和一個子群H而言,

 [ G : H ] = { o(G) \over o(H) }

其中o(G)和o(H)分別為GH。特別地是,每一個G的子群的目(和每一個G內元素的目)都必須為o(G)的因數右陪集為相類比之定義:Ha = {ha : hH}。其亦有對應於一適當之等價關係的等價類,且其個數亦會相等於[G:H]。

若對於每個在G內的aaH=Ha,則H稱之為正規子群。每一個指數2的子群皆為正規的:左陪集和右陪集都簡單地為此一子群和其補集。

另見[编辑]