子集

B 的子集 A

子集，為大集合中一部分的集合，故亦稱部分集合。

若 X 和 Y 为集合，且 X 的所有元素都是 Y 的元素，则有：

• X 是 Y 的子集（或称包含于 Y ）；
• X ⊆ Y;
• Y 是 X 的父集（或称包含 X ）；
• Y ⊇ X.

所有集合 Y 都是其本身的子集。 不等于 Y 的 Y 的子集称为真子集。 若 X 是 Y 的真子集，则写作 X ⊂ Y。 "是……的子集"的关系称为包含。

符号

符号 "⊆" 表示任何子集；符号 "⊂" 表示真子集。

举例

• 集合 {1, 2} 是集合 {1, 2, 3} 的真子集。
• 自然数集合是有理数集合的真子集。
• 集合 {x : x 是大于 2000 的素数} 是集合 {x : x 是大于 1000 的奇数} 的真子集。
• 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
• 空集，写作 $\varnothing$，是任意集合 X 的子集。（请见下面证明）空集总是其他集合真子集，除了其自身。

性质

命题 1：空集是任意集合的子集。

证明：给定任意集合 A，要证明 $\varnothing$ 是 A 的子集。这要求给出所有 $\varnothing$ 的元素是 A 的元素；但是，$\varnothing$ 没有元素。

对有经验的数学家们来说，推论 "∅ 没有元素，所以 ∅ 的所有元素是 A 的元素" 是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。 因为 $\varnothing$ 没有任何元素，如何使"这些元素"成为别的集合的元素？ 换一种思维将有所帮助。

为了证明 $\varnothing$ 不是 A 的子集，必须找到一个元素，属于 $\varnothing$，但不属于 A。 因为 $\varnothing$ 没有元素，所以这是不可能的。因此 $\varnothing$ 一定是 A 的子集。

这个命题说明：包含是一种偏序关系。

命题 2：若 A，B，C 是集合，则：

自反性:

• A ⊆ A

反对称性:

• A ⊆ B 且 B ⊆ A 当且仅当 A = B

传递性:

• 若 A ⊆ B 且 B ⊆ C 则 A ⊆ C

这个命题说明：对任意集合 S，S 的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

命题 3：若 A，B，C 是集合 S 的子集，则：

存在一个最小元和一个最大元：

• ∅ ⊆ A ⊆ S (that ∅ ⊆ A is Proposition 1 above.)

存在并运算:

• A ⊆ A∪B
• 若 A ⊆ C 且 B ⊆ C 则 A∪B ⊆ C

存在交运算:

• A∩B ⊆ A
• 若 C ⊆ A 且 C ⊆ B 则 C ⊆ A∩B

这个命题说明：表述 "A ⊆ B " 和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。

命题 4: 对任意两个集合 A 和 B，下列表述等价：

• A ⊆ B
• A ∩ B  =  A
• A ∪ B  =  B
• A − B  =  $\varnothing$
• B′ ⊆ A′

参见

• 冪集：某集合的全部子集组成的集合。