子集

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B的子集A

子集,為某個集合中一部分的集合,故亦稱部分集合

XY集合,且X的所有元素都是Y的元素,则有:

  • XY子集(或称包含于Y);
  • XY;
  • YX父集/超集(或称包含X);
  • YX.

所有集合Y都是其本身的子集。 不等于YY的子集称为真子集。 若XY的真子集,则写作XY。 "是……的子集"的关系称为包含

符号[编辑]

符号"⊆"表示任何子集;符号"⊊"表示真子集。

雖然"⊂"很常見,但有些人用這個符號表示子集[1]:p.6,另一些人用這個符號表示真子集[2][3],易混淆。

举例[编辑]

  • 集合{1, 2}是集合{1, 2, 3}的真子集。
  • 自然数集合是有理数集合的真子集。
  • 集合{x : x是大于2000的素数}是集合{x : x是大于1000的奇数}的真子集。
  • 任意集合是其自身的子集,但不是真子集。
  • 空集,写作 \varnothing,是任意集合X的子集。空集总是其他集合真子集,除了其自身。

性质[编辑]

命题1空集是任意集合的子集。

这个命题说明:包含是一种偏序关系

命题2:若ABC是集合,则:

自反性
  • A ⊆ A
反对称性
传递性
  • A ⊆ BB ⊆ CA ⊆ C

这个命题说明:对任意集合SS幂集按包含排序是一个有界格,与上述命题相结合,则它是一个布尔代数

命题3:若ABC是集合S的子集,则:

存在一个最小元和一个最大元
  • ∅ ⊆ A ⊆ S( ∅ ⊆ A 由命題1給出)
存在并运算
  • A ⊆ AB
  • A ⊆ CB ⊆ CAB ⊆ C
存在交运算
  • AB ⊆ A
  • C ⊆ AC ⊆ BC ⊆ AB

命题4:对任意两个集合AB,下列表述等价:

  • A ⊆ B
  • A ∩ B  =  A
  • A ∪ B  =  B
  • A − B  =  \varnothing
  • B′ ⊆ A

这个命题说明:表述"AB ",和其他使用并集交集补集的表述是等价的,即包含关系在公理体系中是多余的。

參考文獻[编辑]

  1. ^ Rudin, Walter, Real and complex analysis. 3rd, New York: McGraw-Hill. 1987, ISBN 978-0-07-054234-1 
  2. ^ 離散數學-第三章 [2012-09-07] 
  3. ^ Subsets and Proper Subsets [2012-09-07] 

参见[编辑]

  • 冪集:某集合的全部子集组成的集合。