字符串运算

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计算机科学领域形式语言理论中,经常用到各种字符串函数;但是符号不同于计算机编程中所用到的,某些在理论领域中常用的函数,在编程中很少用到。本文定义其中一些基本术语。

字符串的字母表[编辑]

字符串的字母表是在一个特定字符串中出现的所有字母的列表。如果 s 是字符串,则它的字母表指示为

\operatorname{Alph}(s)

字符串代换[编辑]

L 是一个语言,并设 \Sigma 是它的字母表。字符串代换或简称代换是映射 f,它把 \Sigma 中的字母映射到(可能有不同的字母表的)语言。比如,给定一个字母 a\in \Sigma,有 f(a)=L_a 这里的 L_a\subset\Delta^* 是其字母表为 \Delta 的某个语言。这个定义可被扩展到字符串为

f(\varepsilon)=\varepsilon

对于空串 \varepsilon,和

f(sa)=f(s)f(a)

对于字符串 s\in L。字符串代换可以被扩展到整个语言为

f(L)=\bigcup_{s\in L} f(s)

字符串代换的一个例子出现在正则语言中,它闭合于字符串代换之下。就是说,如果一个正规语言的字母被另一个正规语言所代换,结果仍是正规语言。

字符串同态[编辑]

字符串同态是使得每个字母被替代为一个单一字符串的字符串代换。就是说,f(a)=s,这里的 s 是字符串,对于每个字母 a。字符串同态是保持字符串连接二元运算同态。给定一个语言 Lf(L) 的集合叫做 L同态像。字符串 s逆同态像被定义为

f^{-1}(s)=\{w\vert f(w)=s\}

而语言 L 的逆同态像被定义为

f^{-1}(L)=\{s\vert f(s)\in L\}

注意一般的说 f(f^{-1}(L))\ne L,然而确实有

f(f^{-1}(L)) \subseteq L

L \subseteq f^{-1}(f(L))

对于任何语言 L。简单单一字母置换密码是字符串代换的例子。

字符串投影[编辑]

如果 s 是字符串,而 \Sigma 是字母表,s字符串投影是通过删除不在 \Sigma 中的所有字母结果的字符串。它被写为 \pi_\Sigma(s)\,。它通过从右手端切除字母来得出形式定义:

\pi_\Sigma(s) = \begin{cases} 
\varepsilon & \mbox{if } s=\varepsilon \mbox{ the empty string} \\
\pi_\Sigma(t) & \mbox{if } s=ta \mbox{ and } a \notin \Sigma \\ 
\pi_\Sigma(t)a & \mbox{if } s=ta \mbox{ and } a \in \Sigma   
\end{cases}

这里的 \varepsilon 指示空串。字符串的投影本质上同于关系代数中的投影。

字符串投影可以提升为语言的投影。给定形式语言 L,它的投影给出自

\pi_\Sigma (L)=\{\pi_\Sigma(s) \vert s\in L \}

右商[编辑]

字符串 s 与字母 a右商是在字符串 s 中切断右手端字母 a 得到的字符串。它被指示为 s/a。如果字符串在右手端没有 a,则结果是空串。就是:

(sa)/ b = \begin{cases} 
s & \mbox{if } a=b \\
\varepsilon & \mbox{if } a \ne b
\end{cases}

空串的右商可以是:

\varepsilon / a = \varepsilon

类似的,给出幺半群 M 的子集 S\subset M,可以定义商子集为

S/a=\{s\in M \vert sa\in S\}

左商可以类似的定义,运算发生在字符串的左端。

语法关系[编辑]

幺半群 M 的子集 S\subset M 的右商定义了一个等价关系,叫做 S语法关系。它给出为

\sim_S \;\,=\, \{(s,t)\in M\times M \vert S/s = S/t \}

关系明显是有有限索引的(有有限数目个等价类),当且仅当右商族有限的;就是说如果

\{S/m \vert m\in M\}

是有限的。在这种情况下,S可识别语言,就是说可被有限状态自动机识别的语言。这个在语法幺半群中详细讨论。

右取消[编辑]

字符串 s 与字母 a右取消是切除字符串 s 右手端的字母 a 的首次出现得到的字符串。它被指示为 s\div a 并被递归的定义为

(sa)\div b = \begin{cases} 
s & \mbox{if } a=b \\
(s\div b)a & \mbox{if } a \ne b
\end{cases}

空串总是可取消的:

\varepsilon \div a = \varepsilon

明显的,右取消和投影可交换:

\pi_\Sigma(s)\div a = \pi_\Sigma(s \div a )

前缀[编辑]

字符串的前缀是关于给定语言一个字符串的所有前缀的集合:

\operatorname{Pref}_L(s) = \{t \vert s=tu \mbox { for } u\in L\}

语言的前缀闭包

\operatorname{Pref} (L) = \bigcup_{s\in L} \operatorname{Pref}_L(s)

一个语言叫做前缀闭合的,如果 \operatorname{Pref} (L) = L。明显的,前缀闭包算子是幂等的:

\operatorname{Pref} (\operatorname{Pref} (L)) =\operatorname{Pref} (L)

前缀关系二元关系 \sqsubseteq,有着 s\sqsubseteq t 当且仅当 s \in \operatorname{Pref}_L(t)

前缀文法生成(关于这个文法)前缀闭合的语言。

参见[编辑]

引用[编辑]

  • John E. Hopcroft and Jeffrey D. Ullman, Introduction to Automata Theory, Languages and Computation, Addison-Wesley Publishing, Reading Massachusetts, 1979. ISBN 0-201-02988-X. (See chapter 3.)