字 (群論)

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群論中,的任何元素和它們的逆元寫成的乘積。例如,如果 x, yz 是群 G 的元素,則 xy, z-1xzzy-1zxx-1yz-1 都是集合 {xyz} 形成的字。字在自由群展示理論中扮演重要角色,并是組合群論的中心研究對象。

定義[编辑]

G 是群,并設 SG子集S 形成的字是如下形式的表達式

s_1^{\epsilon_1} s_2^{\epsilon_2} \cdots s_n^{\epsilon_n}

這里的 s1,...,snS 的元素并且每個 εi 都是 ±1。數 n 叫做字的長度

S 形成的每個字表示 G 的一個元素,也就是這個表達式的乘積。按慣例,單位元可以被表示為空字,它是長度為零的唯一的字。

符號[编辑]

在書寫字的時候,經常使用指數符號來簡寫。例如,字

x x y^{-1} z y z z z x^{-1} x^{-1} \,

可以寫為

x^2 y^{-1} z y z^3 x^{-2} \,

后者表達式自身不是個字,它簡單的是最初的字的簡寫符號表示。

在處理長字的時候,使用上劃線來指示 S 的元素的逆元是很有幫助的。使用上劃線符號,上述字可以寫為如下:

x^2\overline{y}zyz^3\overline{x}^2 \,

字和展示[编辑]

G 的子集 S 叫做生成集,如果所有 G 的元素可以用 S 形成的字來表示。如果 S 是生成集,關系是表示在 G 中相同的元素的一對 S 形成的字。它們通常寫為等式:

x^{-1} y x = y^2\,

關系的集合 \mathcal{R} 定義 G,如果所有 G 中的關系可以從 \mathcal{R} 的關系使用群公理在邏輯上推出。G展示是有序對 \langle S \mid \mathcal{R}\rangle,這里的 SG 的生成集而 \mathcal{R} 是關系的定義集合。

例如,克萊因四元群可以通過如下展示來定義

\langle i,j \mid i^2 = 1,\,j^2 = 1,\,ij=ji\rangle

這里的 1 指示表示單位元的空字。

S 不是 G 的生成集的時候,用 S 形成的字表示的元素的集合是 G子群。這叫做 G 生成自 S 的子群,并通常指示為 \langle S\rangle。它是包含 S 的元素的 G 的最小子群。

簡約字[编辑]

其中生成元接著它自己的逆元出現(xx-1x-1x)的任何字可以通過省略冗余對來簡化:

y^{-1}zxx^{-1}y\;\;\longrightarrow\;\;y^{-1}zy

這個運算叫做簡約,并且它不改變這個字表示的元素。(簡約可以被認為是從群公理推出的關系。)

簡約字是不包含冗余對的字。任何字都可以通過進行一序列的簡約而簡化成簡約字:

xzy^{-1}xx^{-1}yz^{-1}zz^{-1}yz\;\;\longrightarrow\;\;xyz

結果不依賴於進行簡約的次序。

如果 S 是任何集合, S 上的自由群是帶有展示 \langle S\mid\;\rangle 的群。就是說,在 S 上的自由群是 S 的元素在沒有額外的關系下生成的群。所有自由群的元素可以唯一的寫為 S 形成的簡約字。

一個字是循環簡約的,當且僅當字的所有循環置換是簡約的。

規範形式[编辑]

帶有生成集合 S 的群 G規範形式是對給每個 G 的元素的 S 形成的一個簡約字的選擇。例如:

  • 字 1, i, j, ij克萊因四元群的規範形式。
  • 字 1, r, r2, ..., rn-1, s, sr, srn-1二面體群 Dihn 的規範形式。
  • S 形成的簡約字的集合是 S 上的自由群的規範形式。
  • 形如 xmyn 對于 m,n ∈ Z 的字的集合是循環群x〉和〈y〉的直積的規範形式。

在字上的運算[编辑]

兩個字的乘積可以通過串接獲得:

\left(xzyz^{-1}\right)\left(zy^{-1}x^{-1}y\right) = xzyz^{-1}zy^{-1}x^{-1}y

是兩個字都是簡約的,乘積也可能不是簡約的。

字的可以通過反轉每個生成元,并對換元素的次序來獲得:

\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)^{-1}=y^{-1}xyz^{-1}

字和它的逆元的乘積可以簡約為空字:

zy^{-1}x^{-1}y \; y^{-1}xyz^{-1} \; \longrightarrow\;\;1

可以通過共軛把一個生成元從字的開始處移動到結尾處:

x^{-1}\left(xy^{-1}z^{-1}yz\right)x = y^{-1}z^{-1}yzx

字問題[编辑]

給定一個群 G 的展示 \langle S\mid \mathcal{R} \rangle字問題是一個算法問題,給定 S 中的兩個字作為輸入,確定它們是否表示 G 的相同元素。字問題是 Max Dehn 在 1911 年提出的三個算法問題之一。Pyotr Sergeyevich Novikov 在 1955 年證明了存在有限展現的群 G 使得 G 的字問題是不可決定性的(Novikov 1955)。

引用[编辑]

  • Epstein, David; Cannon, J. W.; Holt, D. F.; Levy, S. V. F.; Paterson, M. S.; Thurston, W. P., Word Processing in Groups, AK Peters, 1992, ISBN 0-867-20244-0 .
  • Novikov, P. S., On the algorithmic unsolvability of the word problem in group theory, Trudy Mat. Inst. Steklov, 1955, 44: 1–143 (Russian) 
  • Robinson, Derek John Scott. A course in the theory of groups. Berlin: Springer-Verlag. 1996. ISBN 0-387-94461-3. 
  • Rotman, Joseph J. An introduction to the theory of groups. Berlin: Springer-Verlag. 1995. ISBN 0-387-94285-8. 
  • Schupp, Paul E.; Lyndon, Roger C. Combinatorial group theory. Berlin: Springer. 2001. ISBN 3-540-41158-5. 
  • Solitar, Donald; Magnus, Wilhelm; Karrass, Abraham, Combinatorial group theory: presentations of groups in terms of generators and relations, New York: Dover, 2004, ISBN 0-486-43830-9 
  • Stillwell, John. Classical topology and combinatorial group theory. Berlin: Springer-Verlag. 1993. ISBN 0-387-97970-0.