存在量化

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谓词逻辑中,存在量化是对一个域的至少一个成员的性质或关系的论断。使用叫做存在量词逻辑算子符号 ∃ 来指示存在量化。

它相对于声称某些事物对所有事物都为真的全称量化

基础[编辑]

假如你希望写一个公式,它为真当且仅当某些自然数自乘得 25。你可以尝试的一个朴素的方式是:

0·0 = 25, 1·1 = 25, 2·2 = 25, 3·3 = 25,以此类推。

因为重复使用了"或",这是看起来是一个逻辑析取。但是"以此类推"使得它在形式逻辑中不可能解释为析取。转而我们把句子重组为

对于某些自然数 nn·n = 25。

这是使用了存在量化的一个单一的称述。

注意这个陈述实际上比最初的更加精确。短语"以此类推"明确的意味着包含所有自然数,而没有更多其他的什么东西,但是这不是一个明确的陈述,这是这个短语不能形式解释的根本原因。在另一方面,在这个量化的陈述中自然数被明确的提及了。

这个特定例子是真的,因为 5 是自然数,并且当我们把 n 代换为 5 的时候,我们得到 "5·5 = 25",这是真的。这与 "n·n = 25" 对于大多数自然数 n为假无关,在实际上除了 5 之外都为假;即使只存在一个单一的就足以证明存在量化为真。(当然,多个解也行!)。与之相反,"对于某些偶数 nn·n = 25" 为假,因为它没有偶数解。

在另一方面,"对于某些奇数 nn·n = 25" 为真,因为解 5 是奇数。这演示了论域的重要性,它指定变量 n 被允许接纳那些值。对量化陈述使用论域的进一步信息请参阅量化条目。在这个特例中,注意如果你希望把论域限制为只由满足特定谓词的对象组成,则对于存在量化,你可以使用逻辑合取来完成。例如 "对于某些奇数 nn·n = 25" 逻辑等价于 "对于某些自然数 nn 是奇数且 n·n = 25"。这里的"且"构造指示了逻辑合取。

符号逻辑中,我们使用存在量词 "∃" (反写无衬线体的字母 "E")来指示存在量化。所以如果 P(a, b, c) 是谓词 "a·b = c",而 N 是自然数的集合,则

 \exists{n}{\in}\mathbf{N}\, P(n,n,25)

是(真)陈述

对于某些自然数 nn·n = 25。

类似的,如果 Q(n) 是谓词 "n 是偶数",则

 \exists{n}{\in}\mathbf{N}\, \big(Q(n)\;\!\;\! {\wedge}\;\!\;\! P(n,n,25)\big)

是(假)陈述

对于某些偶数 nn·n = 25。

(适用所有形式的)量化记法上一些变体请参见量化条目。

引用[编辑]

参见[编辑]