梅涅劳斯定理

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情況1：直線LMN穿過三角形ABC

情況2：直線LMN在三角形ABC外面

梅涅劳斯定理（Menelaus's theorem）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一直线与$\triangle ABC$的边BC、CA、AB分别交于L、M、N，则有：

$\frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA}=1$。

它的逆定理也成立：若有三点L、M、N分别在$\triangle ABC$的边BC、CA、AB或其延长线上（有一点或三点在延长线上），且满足

$\frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA}=1$

则L、M、N三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。

证明

如图，设$\angle ANL = a$，$\angle AMN = b$，$\angle MLC = c$，则在$\triangle AMN$中由正弦定理，有

$\frac{AN}{AM} = \frac{\sin b}{\sin a}$   （1）

同理，在$\triangle NBL$和$\triangle CLM$中有

$\frac{BL}{BN} = \frac{\sin (180-a)}{\sin c} = \frac{\sin a}{\sin c}$   （2）

及

$\frac{CM}{CL} = \frac{\sin c}{\sin b}$   （3）

三式相乘，得

$\frac{AN}{AM} \cdot \frac{BL}{BN} \cdot \frac{CM}{CL} = \frac{\sin b}{\sin a} \cdot \frac{\sin a}{\sin c} \cdot \frac{\sin c}{\sin b} = 1$，

即

$\frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA}=1$。

参见

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• 塞瓦定理