孿生質數猜想

孪生素数猜想是数论中的著名未解決问题。这个猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：

存在无穷多个素数p，与p + 2都是素数。

素数对 (p, p + 2)称为孪生素数。数学家们相信这个猜想是成立的。

1849年，阿尔方·德·波利尼亚克提出了更一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对 (p, p + 2k)。k = 1的情况就是孪生素数猜想。

2013年，数学家张益唐向《数学年刊》杂志提交了上式中k≤35000000的情况的证明论文，证明存在无穷多个二者差小于等于70000000的素数对，在孪生素数猜想的证明上，迈出了重要的一步。

哈代-李特尔伍德猜测

1921年，英国数学家哈代和李特尔伍德提出了以下的猜想：设$\pi_2(N)$ 为前N 个自然数里孪生素数的个数。那么

$\pi_2(N) \approx \int_{2}^{N}\frac{dt}{(lnt)^2} \approx 2 C_{twin} \ \frac{N}{\ln^2 N}$

其中的常数$C_{twin}$ 是所谓的孪生素数常数：

$\begin{align} C_{twin} &= \left( 1 - \frac{1}{2^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{4^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{6^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{10^2} \right) \cdots \ = \prod_{p > 2} \left( 1 - \frac{1}{(p-1)^2} \right) \\ &= 0.6601618158468695739278121 \ldots \end{align}$

其中的p 表示素数。

参见

• 素数