安培力定律

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用\mathbf{r}\,\!表示;而其大小則用r\,\!來表示。
兩條載流導線以磁場力相互吸引對方。下方導線載有電流 I_1\,\! 。這會產生磁場 B_1\,\! 。上方導線載有電流 I_2\,\! ,因為處於這磁場 B_1\,\! ,會感受到勞侖茲力 F_{12}\,\! 。(沒有展示出的是同步的程序:上方導線產生的磁場,會使得下方導線感受到大小相等、方向相反的磁場力。)
另外一副關於勞侖茲力定律的繪圖,顯示出電路 1 的電流 I_1\,\! ,通過磁場 B_1\,\! ,施加作用力 F_{12}\,\! 於電路 2 , 反之亦然。

靜磁學裏,安培力定律專門描述兩條載流導線相互作用的吸引力或排斥力,又稱為安培力,是由載流導線的電流所產生的磁場(根據必歐-沙伐定律),與對方的移動電荷速度耦合而形成的勞侖茲力。安培力定律是因安德烈-瑪麗·安培而命名。

舉一個常見的簡單範例。設定兩條細直、無限長、固定的、相互平行的載流導線,則在自由空間內,任意一條導線施加於對方的每單位長度作用力 f_m\,\!

 f_m = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}\,\!

其中,\mu_0\,\!真空磁導率I_1\,\!I_2\,\! 分別是流動於兩條導線的電流,r\,\! 是兩條導線之間的垂直距離。

採用國際單位制\mu_0\,\! 值定義為[1]

 \mu_0  \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  4 \pi \times 10^{-7} \  \,\! 牛頓 / (安培)2

假設每一條導線都載有 1\,\! 安培,兩條導線相隔 1\,\! 公尺,則作用於每一條導線的每單位長度的磁力為 2 × 10−7 牛頓/公尺。

更一般性的,能夠適用於更多案例的方程式,可以用二重線積分來表達[2] [3][4]

 \mathbf{F}_{12} = \frac {\mu_0 I_1 I_2} {4 \pi} \int_{\mathcal{C}_1} \int_{\mathcal{C}_2} \frac {d \boldsymbol{\ell}_2\ \mathbf{ \times} \ (d  \boldsymbol{\ell}_1 \ \mathbf{ \times } \ \hat{\mathbf{r}}_{12} )} {r_{12}^2}\,\!

其中,\mathbf{F}_{12}\,\! 是導線 1 施加於導線 2 的作用力,I_1\,\!I_2\,\! 分別是流動於導線 1 和導線 2 的電流,\mathcal{C}_1\,\!\mathcal{C}_2\,\! 分別是導線 1 和導線 2 的線積分路徑,d\boldsymbol{\ell}_1\,\!d\boldsymbol{\ell}_2\,\! 分別是 \mathcal{C}_1\,\!\mathcal{C}_2\,\! 的微小線元素,\mathbf{r}_{12}\,\! 是從 \boldsymbol{\ell}_1\,\! 指向 \boldsymbol{\ell}_2\,\! 的向量,r_{12}\,\! 是其大小,\hat{\mathbf{r}}_{12}\,\! 是其單位向量。

從必歐-沙伐定律和勞侖茲力定律推導出安培力定律[编辑]

根據必歐-沙伐定律,導線 1 的磁場在微小線元素 d\boldsymbol{\ell}_2\,\! 位置是

 \mathbf{B}_1 = \frac {\mu_0 I_1 } {4 \pi} \int_{\mathcal{C}_1}\  \frac{d  \boldsymbol{\ell}_1 \ \times \hat{\mathbf{r}}_{12}} {r_{12}^2}\,\!

根據勞侖茲力定律,作用於微小線元素位置 d\boldsymbol{\ell}_2\,\! 的勞侖茲力遵守以下方程式

 d\mathbf{F} = dq(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}) \,\! ;

其中,dq\,\! 是微小電荷,\mathbf{E}\,\! 是電場。

在這裡,電場等於零。所以,

 d\mathbf{F}_{12} = I_2 d\boldsymbol{\ell}_2\times\mathbf{B}_1\,\!

表達為積分形式:

 \mathbf{F}_{12} = I_2\int_{\mathcal{C}_2}\  d\boldsymbol{\ell}_2\times\mathbf{B}_1\,\!

將磁場的公式帶入,可以得到

 \mathbf{F}_{12} = \frac {\mu_0 I_1 I_2} {4 \pi} \int_{\mathcal{C}_1} \int_{\mathcal{C}_2} \frac {d \boldsymbol{\ell}_2\ \mathbf{ \times} \ (d  \boldsymbol{\ell}_1 \ \mathbf{ \times } \ \hat{\mathbf{r}}_{12} )} {r_{12}^2}\,\!

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 真空磁導率. 2006 CODATA recommended values. 美國國家標準與科技研究院. 
  2. ^ 在設定標準單位的公文BIPM SI Units brochure, 8th Edition, p. 105裏,採用這方程式內的被積分式來定義安培。
  3. ^ Tai L. Chow. Introduction to electromagnetic theory: a modern perspective. Boston: Jones and Bartlett. 2006: 153. ISBN 0763738271. 
  4. ^ 薩里大學的網頁:安培力定律,捲動至"Integral Equation"段落,那裏有關於方程式的解釋

外部連結[编辑]

  • 薩里大學電機系網頁:安培力定律。網頁內有展示安培力動畫圖形