安培定律

在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

安德烈-瑪麗·安培。

安培定律（英语：Ampère's circuital law），又稱安培環路定律，是由安德烈-瑪麗·安培於1826年提出的一條靜磁學基本定律。安培定律表明，載流導線所載有的電流，與磁場沿著環繞導線的閉合迴路的路徑積分，兩者之間的關係為

$\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot d\boldsymbol{\ell} =\mu_0 I_{enc}$ ；

其中，$\mathbb{C}$ 是環繞著導線的閉合迴路，$\mathbf{B}$ 是磁感應強度（B場），$d\boldsymbol{\ell}$ 是微小線元素向量，$\mu_0$ 是磁常數，$I_{enc}$ 是閉合迴路$\mathbb{C}$ 所圍住的電流。

1861年，詹姆斯·馬克士威又將這方程式重新推導一遍，使得符合電動力學條件，並且發表結果於論文《論物理力線》內。馬克士威認為，含時電場會生成磁場，假若電場相依於時間，則前述安培定律方程式不成立，必須加以修正。經過修正後，新的方程式稱為馬克士威-安培方程式，是馬克士威方程組中的一個方程式，以積分形式表示為

$\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_0 \int_\mathbb{S} \left(\mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right) \cdot d\mathbf{a}$ ；

其中，$\mathbb{S}$ 是邊緣為 $\mathbb{C}$ 的任意曲面，$\mathbf{J}$ 是穿過曲面 $\mathbb{S}$ 的電流的電流密度，$\mathbf{ D }$ 是電位移，$d\mathbf{a}$ 是微小面元素向量。

右手定則

載流迴圈所產生的磁場方向可以使用右手定則來判斷。其方法為將拇指外的四根手指向手掌彎的方向視為電流方向，則拇指所指的方向即為磁場的方向。

安培右手定則:將右手的大拇指指向電流 $I$ 方向，再將四根手指握緊電線，則彎曲的方向决定磁場 $\mathbf{B}$ 的方向

右手定則也可以用來辨明一條電線四周磁場的方向。對於這用法，右手定則稱為「安培右手定則」，或「安培定則」。如右圖，安培右手定則表明，假若將右手的大拇指朝著電線的電流方向指去，再將四根手指握緊電線， 則四根手指彎曲的方向為磁場的方向。

原版安培定律

一條載流導線所載有的電流會產生磁場。

安培定律的歷史原版形式，連結了磁場與源電流。這定律可以寫成兩種形式，積分形式和微分形式。根據克耳文－斯托克斯定理（卽 ℝ³ 上的斯托克斯公式），對於任意向量 $\mathbf{F}$ ，

$\int_\mathbb{S} \nabla\times \mathbf{F}\cdot d\mathbf{a}=\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}$ 。

所以，這兩種形式是等價的。

積分形式

电流 $I$ 在一个曲面 $\mathbb{S}$ 上的通量，等於B場 $\mathbf{B}$ 沿著 $\mathbb{S}$ 的邊緣閉合迴路 $\mathbb{C}$ 的路徑積分。 採用國際單位制（後面會講述CGS單位制版本），原版安培定律的積分形式可以寫為：

$\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mu_0 I$ 。

請注意到這方程式有些模糊之處，需要特別澄清：

• 第一，邊界曲線 $\mathbb{C}$ 的正向与曲面 $\mathbb{S}$ 的侧符合右手规则。

• 第二，（固定 $\mathbb{C}$ ，）定理之成立與以 $\mathbb{C}$ 為邊界的 $\mathbb{S}$ 的選擇無關。

安培定律可由必歐-沙伐定律和磁場的叠加性证明（請參閱必歐-沙伐定律）。在静磁學中，安培定律的角色與高斯定律在靜電學的角色類似。當系統組態具有適當的對稱性時，我們可以利用這對稱性，使用安培定律來便利地計算磁場。例如，當計算一條直線的載流導線或一個無限長螺線管的磁場時，可以採用圓柱坐標系來匹配系統的圓柱對稱性。

微分形式

根據克耳文－斯托克斯定理，這方程式也可以寫為微分形式。只有當電場不相依於時間的時候，也就是說，當電場隨時間的偏微分等於零的時候，這方程式才成立。採用國際單位制，這方程式表示為

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J }$ 。

B场 $\mathbf{B}$ 的旋度等于（产生该磁场的）传导电流密度 $\mathbf{J}$ 。

電流分類

電流可以細分為自由電流和束縛電流，而束縛電流又可分類為磁化電流和電極化電流。以方程式表示，總電流密度 $\mathbf{J}$ 是

$\mathbf{J} =\mathbf{J_f +J_M +J_P}$ ；

其中，$\mathbf{J}_ f$ 是自由電流密度或傳導電流密度，$\mathbf{J}_M$ 是磁化電流密度，$\mathbf{J}_ P$ 是電極化電流密度。

從微觀而言，所有的電流基本上是一樣的。但是，由於實用原因，物理學家會將電流分類為自由電流和束縛電流，對於每一類電流有不同的處理方式。例如，束縛電流通常發生於原子尺寸。物理學家或許想要使用較簡單但適用於較大尺寸狀況的理論。因此，較微觀的安培定律，以B場 $\mathbf{B}$ 和微觀電流（包括自由電流和束縛電流）來表達的定律，有時候會被替代為等價的形式，以磁場強度（H場） $\mathbf{ H }$ 和自由電流來表達的形式。後面證明段落，會有詳細的關於自由電流和束縛電流的定義，與兩種表述等價的證明。

自由電流

通常在教科書內所提及的单独的“電流”二字，都是指的自由電流，即自由载流子（电子及阴阳离子）的定向移动。例如，通過一條導線或一個電池的電流。自由电流与后面提到的束缚电流明顯不同，后者出現於可以被磁化或電極化的宏觀物質裏（每一種物質都會或多或少地被電極化或磁化）。

磁化電流

當一個物質被磁化的時候（例如，將此物質置入外磁場），電子仍舊會束縛於它們所屬的原子。但是，它們的物理行為會有所改變（會與感受到的磁場耦合），產生微觀電流。將這些電流總合在一起，會有如同巨觀電流一般的效應，環繞於磁化物體內部或表面。稱這電流為磁化電流，是束縛電流的一部分。稱磁化電流的密度為「體磁化電流密度」 $\mathbf{J}_M$ ，用方程式定義為

$\mathbf{J}_M\ \stackrel{def}{=}\ \nabla\times\mathbf{M}$ ；

其中，$\mathbf{M}$ 是磁化強度（單位體積的磁偶極矩）。

電極化電流

束縛電流的另外一種來源是電極化電流。感受到電場的作用，可電極化物質內的正束縛電荷和負束縛電荷會以原子距離相互分離。假設電場隨著時間改變，束縛電荷也會隨著時間而移動，因而產生「電極化電流」，稱其密度為「電極化電流密度」 $\mathbf{J}_P$ ，用方程式定義為

$\mathbf{J}_P\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}$ ；

其中，$\mathbf{P}$ 是電極化強度。

注意到電極化強度的定義式

$\nabla\cdot\mathbf{P}\ \stackrel{def}{=}\ - \rho_b$ ；

其中，$\rho_b$ 是「體束縛電荷密度」。

取電極化電流密度的散度：

$\nabla\cdot\mathbf{J}_P=\frac{\partial}{\partial t} (\nabla\cdot\mathbf{P})$ 。

所以，電極化電流密度與體束縛電荷密度的關係為

$\nabla\cdot\mathbf{J}_P= - \frac{\partial\rho_b}{\partial t}$ 。

原版安培定律的不足處

原版安培定律只適用於靜磁學。在電動力學裏，當物理量相依於時間，有些細節必須仔細檢查。思考安培方程式，

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J }$ ；

其中，$\mathbf{B}$ 是B場，$\mu_0$ 是磁常數，$\mathbf{J }$ 是總電流。

取散度於這方程式，則會得到

$\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{B}) = \mu_0 \nabla\cdot\mathbf{J }$ 。

應用一個向量恆等式，旋度的散度必定等於零。所以，

$\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{B}) =0$ 。

這意味著電流密度的散度等於零：

$\nabla\cdot\mathbf{J }=0$ 。

在靜磁學內，這是正確的。但是，出了靜磁學範圍，當電流不穩定的時候，這就不一定正確了。

一個正在充電的電容器，左邊的圓形金屬板，被一個假想的封閉圓柱表面 $\mathbb{S}$ 包圍。這圓柱表面的右邊表面 $\mathbb{R}$ 處於電容器的兩塊圓形金屬板之間，左邊表面 $\mathbb{L}$ 處於最左邊。沒有任何傳導電流通過表面 $\mathbb{R}$ ，而有電流 $I$ 通過表面 $\mathbb{L}$ 。

舉個經典例子，如圖右，一個正在充電的電容器，其兩片金屬板會隨著時間分別累積異性電荷。設定表面 $\mathbb{L}$ 的邊緣為閉合迴路 $\mathbb{C}$ 。應用安培定律，

$\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot d\boldsymbol{\ell} =\mu_0 I_{enc}$ 。

在這裡，$I_{enc}$ 是通過任意曲面的電流，只要這曲面符合一個條件：邊緣為閉合迴路 $\mathbb{C}$ 。所以，這任意曲面可以是表面 $\mathbb{L}$ ，而$I_{enc}$ 是 $I$ ；或者這任意曲面可以是封閉圓柱表面減去左邊表面 $\mathbb{S} - \mathbb{L}$ ，而由於通過這任意曲面的電流是 $0$ ，$I_{enc}$ 是 $0$ 。選擇不同的曲面會得到不同的答案，這在物理學裏，是絕對不允許發生的事。

為了解決上述難題，安培定律必須加以修改延伸。應用流體力學的方法，馬克士威摹想磁場為電介質渦旋（vortex）大海，而位移電流即為大海內的電極化電流。在他於1861年發表的論文《論物理力線》裡面，馬克士威將位移電流項目加入了安培定律 。

位移電流

在自由空間內，位移電流與電場隨著時間的變化率有關；而在電介質內，上述貢獻仍舊存在，但另外一個重要貢獻則與電介質的電極化有關。雖然電荷不能自由地運動於電介質，感受到外電場的作用，分子的束縛電荷可以做微小的運動。因此，正值和負值的束縛電荷會產生小距離的分離，造成電極化的增加，這可以用變量電極化強度 $P$ 來表達。電極化強度隨著時間的變化所產生的效應就是電極化電流。

位移電流密度 $\mathbf{J}_D$ 定義為

$\mathbf{J}_D\ \stackrel{def}{=}\ \frac {\partial\mathbf{D}}{\partial t}$ ；

其中，$\mathbf{D}$ 是電位移，定義為

$\mathbf{D}\ \stackrel{def}{=}\ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$ ；

其中，$\varepsilon_0$ 是電常數，$\mathbf{P}$ 是電極化強度。

所以，位移電流密度分為兩個部分：

$\mathbf{J}_D = \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}$ 。

這方程式右手邊的第一個項目是馬克士威修正項目，在任何地方都可存在，甚至在真空也可以存在。馬克士威修正項目並不涉及任何真實的電荷運動，但是，它描述一個含時電場的物理行為，就好像是真實的電流。第二個項目是電極化電流密度，與電介質內單獨分子的極化性有關。

原本定律的延伸：馬克士威-安培方程式

將馬克士威修正項目加入安培方程式：

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J }+ \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$  ;

或者，使用H場 $\mathbf{H}$ 和位移電流 $\mathbf{D}$ 來表達，

$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J }_f+ \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$ 。

這就是馬克士威-安培方程式，可以補救原本安培定律的限制。

假若使用B場 $\mathbf{B}$ 的馬克士威-安培方程式，由於習慣，時常會稱 $\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ 項目為位移電流密度。由於增添了位移電流，馬克士威能夠推論（正確地）光波是一種電磁波（請參閱電磁波條目）。

等價證明

馬克士威-安培方程式的等價證明

這裏證明方程式 $\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ 。 等價於方程式 $\nabla\times \mathbf{H} = \mathbf{J}_f + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$ ， 注意到只處理微分形式，而不處理積分形式。但這已足夠了。因為，根據克耳文-斯托克斯定理，微分形式等價於積分形式。 回想電位移的定義式為 $\mathbf{D}\ \stackrel{def}{=}\ \epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$ 。 還有，$\mathbf{H}$ 的定義式為 $\mathbf{H}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} - \mathbf{M}$ 。 將這兩個定義式代入磁場強度 $\mathbf{H}$ 的馬克士威-安培方程式， $\nabla\times \left(\frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} - \mathbf{M} \right)= \mathbf{J}_f + \epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}+ \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}$ 。 經過一番運算，可以得到 $\nabla\times \left(\frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} \right)= \mathbf{J}_f +\nabla\times\mathbf{M}+ \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+ \epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}= \mathbf{J}_f +\mathbf{J}_M +\mathbf{J}_P + \epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ 。 稍加整理，即可得到磁感應強度 $\mathbf{B}$ 的馬克士威-安培方程式 $\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ 。

CGS單位制的安培方程式

採用CGS單位制，安培方程式的積分形式，包括馬克士威修正項目，可以寫為

$\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \frac{1}{c} \int_S \left(4\pi\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}$ ；

其中，$c$ 是光速。

其微分形式可以寫為

$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \frac{1}{c}\left(4\pi\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)$ 。

参见

• 電荷守恆定律

外部連結

• Morgan, Kirby. 安培定律. Project PHYSNET. 
• Smith, Walter Fox. 安培定律之歌. PhysicsSongs.org.