完備化 (環論)

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交換代數中,可以探討一個交換環 R 本身,或一個 R-模對一理想 I \subset R 的完備性。由於完備環有較容易處理的性質,完備化是研究交換環的基本工具。

幾何上,交換環的完備化對應到一個閉子概形形式鄰域

I-進拓撲[编辑]

對於一個交換環 R 及其理想 I(通常取為極大理想),可以藉著取 I^n \; (n  \in \N) 為零元素的開鄰域,賦予 R 相應的拓撲結構,使之成為對加法的拓撲群。這種拓撲稱為 I-進拓撲

對於一個 R-模 M,同樣可考慮零元素的開鄰域 I^n M,由此得到 M 上的 I-進拓撲。

完備化及其性質[编辑]

MI \subset R完備化定義為射影極限

\hat{M} := \varprojlim_n M/I^n M

正如其名,\hat{M} 對其 I-進拓撲是完備的。對於固定的 I \subset RM \mapsto \hat{M} 是從 R-模範疇(態射為模同態)到 I-進拓撲 R-模(態射為連續同態)的函子;透過自然同態 M \to \hat{M},它是與之反向的遺忘函子的左伴隨函子,因而是右正合的。

對於諾特環\hat{R}平坦R-模。此時,對任何有限生成 R-模 M,自然態射 \hat{M} \to M \otimes_R \hat{R} 是個同構。綜上所述,對於諾特環 R上的有限生成 R-模,完備化是個正合函子

此外,完備化也可以用柯西序列構造,得到的對象是自然同構的。

例子[编辑]

  • p進整數\Zp\Z 的完備化。
  • 形式冪級數環 k[[X_1, \ldots, X_n]] 是多項式環 k[X_1, \ldots, X_n](X_1, \ldots, X_n) 的完備化。

文獻[编辑]

  • David Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi+785 pp. ISBN 0-387-94268-8; ISBN 0-387-94269-6