完全不连通空间

在拓扑学和相关的数学分支中，完全不连通空间是在没有非平凡连通子集的意义上极大不连通的拓扑空间。在所有拓扑空间中空集和单点集合是连通的，在完全不连通空间中它们是仅有的连通子集。

完全不连通空间的重要例子是康托尔集合。另一个例子是在代数数论中扮演关键角色的p进数的域 Q_p。

定义

拓扑空间 X 是完全不连通，如果在 X 中的连通单元是单点集合。

例子

下面是完全不连通空间的例子:

• 离散空间。
• 有理数。
• 无理数。
• p进数。更一般的说预有限群都是完全不连通的。
• 康托尔集合.
• Baire空间.
• Sorgenfrey线。
• 零维 T₁ 空间。
• Stone空间。
• Knaster-Kuratowski扇。

性质

• 完全不连通空间的子空间、乘积和余积是完全不连通的。
• 完全不连通空间是 T₁ 空间，因为点都是闭合的。
• 完全不连通空间的连续像不必然是完全不连通的，事实上，所有紧致度量空间是康托尔集合的连续像。
• 局部紧致豪斯多夫空间是零维的，当且仅当它是完全不连通的。
• 所有完全不连通紧致度量空间同胚于离散空间的可数乘积的子集。

引用

• Willard, Stephen, General topology, Dover Publications. 2004, MR2048350, ISBN 978-0-486-43479-7 

参见

• 完全不连通群。