完全平方

在数学中，完全平方有两个含义：

• 一个完全平方是可以表示成另一个整数的平方的正整数，也就是说，这个正整数可以写成n²的形式，其中n是整数。
  • 例如:1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... 参见平方数。
• 可以分解成其它表达式的平方的算数表达式，例如：a² ± 2ab + b² = (a ± b)²。（参见和平方或差平方或平方）

完全平方与幻方是不同的概念。

用平方差代替整数相乘

整数相乘可以完全的写成两个平方的差。

例如：

• $10\times 10 = (10+0)\times (10-0) = 10^2 - 0^2 = 100 - 0 = 100$
• $9\times 11 = (10-1)\times (10+1) = 10^2 - 1^2 = 100 - 1 = 99$
• $8\times 12 = (10-2)\times (10+2) = 10^2 - 2^2 = 100 - 4 = 96$
• $7\times 13 = (10-3)\times (10+3) = 10^2 - 3^2 = 100 - 9 = 91$

一般的，两个数的乘积等于这两个数和的平均值的平方减差的平均值的平方。

• $A\times B = [(A+B)/2]^2 - [(A-B)/2]^2$

在速算时，运用这个关系式，两个接近的大数的乘法可以转换成平方的减法。这样只要记住相对来说比较少的平方数表，就可以快捷地计算乘积。

如果$A$与$B$一奇一偶，为了避免出现所谓的“半整数”，可以运用以下技巧：

• $A\times B = A\times (B-1) + A$

例子:

• $27\times 34 = [27\times 33] + 27 = [30^2 - 3^2] + 27 = 900 - 9 + 27 = 918$