完备空间

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完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间:空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。

例子[编辑]

  • 有理数空间不是完备的,因为\sqrt{2}的有限位小数表示是一个柯西序列,但是其极限\sqrt{2}不在有理数空间内。
  • 实数空间是完备的
  • 开区间(0,1)不是完备的。序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收敛於(0, 1)中任何的点。
  • S为任一集合,SNS中的所有序列。如下定义SN上任意两个序列(xn)和(yn)的距离:如果存在某个最小的N,使x_N \neq y_N,那么定义距离为1/N;否则(所有的对应项都相等)距离为0。按此方式定义的度量空间是完备的。该空间同胚离散空间S的可数个副本的

直观理解[编辑]

直观上讲,一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”,两者都是某种“不缺点”。没有孔是指内部不缺点,不缺皮是指边界上不缺点。从这一点上讲,一个空间完备同一个集合闭包是类似的。这一类似还体现在以下定理中:完备空间的闭子集是完备的。

相关定理[编辑]

  • 任一紧致度量空间都是完备的。实际上,一个度量空间是紧致的当且仅当该空间是完备且完全有界的。
  • 完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集
  • X为一集合,M是一个完备度量空间,则所有从X映射到M有界函数f的集合B(X, M)是一个完备度量空间,其中集合B(X, M)中的距离定义为:
d(f,g) := \sup\left\{\,d(f(x),g(x)) : x\in X \,\right\}
  • X为一拓扑空间,M是一个完备度量空间,则所有从X映射到M连续有界函数f的集合Cb(X,M)是B(X, M)(按上一条目的定义)中的闭子集,因而也是完备的。

完备化[编辑]

定义[编辑]

对任一度量空间M,我们可以构造相应的完备度量空间M' (或者表示为\bar{M}),使得原度量空间成为新的完备度量空间的稠密子空间M' 具备以下普适性质:若N为任一完备度量空间,f为任一从MN一致连续函数,则存在唯一的从M'N的一致连续函数f' 使得该函数为f的扩展。新构造的完备度量空间M'等距同构意义下由该性质所唯一决定,称为M完备化空间

以上定义是基于MM'的稠密子空间的概念。我们还可以将完备化空间定义为包含M的最小完备度量空间。可以证明,这样定义的完备化空间存在,唯一(在等距同构意义下),且与上述定义等价。

对於交换环及於其上的,同样可以定义相对於一个理想的完备性及完备化。详见条目完备化 (环论)

构造[编辑]

类似于从有理数域出发定义无理数的方法,我们可以通过柯西序列给原空间添加元素使其完备。

M中的任意两个柯西序列x=(xn)和y=(yn),我们可以定义它们间的距离: d(x,y) = limn d(xn,yn)(实数域完备所以该极限存在)。按此方式定义的度量还只是伪度量,这是因为不同的柯西序列均可收敛到0。但我们可以象很多情况中所做的一样(比如从Lp\mathcal{L}^p),将新的度量空间定义为所有柯西序列的集合上的等价类的集合,其中等价类是基于距离为0的关系(易于验证该关系是等价关系)。这样,令ξx = {yM上的柯西序列:y_n\rightarrow x},M' ={ξx:x ∈ M},原空间M就以x\rightarrowξx的映射方式嵌入到新的完备度量空间M' 中。易于验证,M等距同构于M' 的稠密子空间。

康托法构造实数是该完备化方法的一个特例:实数域是有理数域作为以通常的差的绝对值为距离的度量空间的完备化空间。

性质[编辑]

康托爾實數建構是上述構造的特例;此時實數集可表為有理數集對絕對值的完備化。倘若在有理數集上另取其它的絕對值,得到的完備空間則為p進數

若將上述流程施於賦範向量空間,可得到一個巴拿赫空間,原空間是其中的稠密子空間。若施於一個內積空間,得到的則是希爾伯特空間,原空間依然是其稠密子空間。

相关概念[编辑]

  • 完备与闭:前面讲,完备类似于闭,那么,“完备”与“闭”的区别在何处呢?它们的区别在于,完备是空间或集合的性质,而闭是子集的性质。通常我们说某个集合是闭集开集,实际上是指该集合是R1或某个拓扑空间闭子集开子集。例如,开区间(0, 1)是全集(0, 1)或(0, 1)\cup(2, 3)的闭子集,因为(0, 1)在这两个全集中的导集是其自身。但(0, 1)是R1的开子集。闭子集可以用收敛序列定义,因为收敛序列的极限点总是在全集中的,极限点在子集中与否决定该子集是否为闭子集。与此相对,完备性的定义中没有全集的概念,这也是为什么在其定义中必须用柯西序列而不能用收敛序列,因为在收敛序列的定义中必有极限点,若该极限点不在度量空间中,则收敛序列中的点到该极限点距离是未定义的。

参见[编辑]

引用[编辑]

  • Tsolomitis, Yuli Eidelman ; Vitali Milman ; Antonis. Functional analysis an introduction. Providence, RI: American Mathematical Soc. 2004. ISBN 9780821836460. 
  • 张恭庆,林源渠,泛函分析讲义 (1987)北京大学出版社,ISBN 7-301-00489-3/O.097