完整系統

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經典力學裏,假若一個系統的所有的約束條件都是完整約束,則稱此系統為完整系統(holonomic system)。完整約束以方程式表達為

 f(x_1,\ x_2,\ x_3,\ \dots,\ x_N,\ t)=0

其中,x_i 是每一個粒子 P_i 之位置,t 是時間。

假若一個約束條件不能夠以上述方程式表達,則稱此約束條件為非完整約束

假若一個系統有任何約束條件不是完整約束,則稱此系統為非完整系統

轉換至廣義坐標[编辑]

完整約束方程式只跟位置、時間有關,跟速度無關。完整約束方程式可以幫助消除相關的變量。假設變量 x_d 是完整約束函數 f_i 的一個參數,則可以將 x_d 從系統裏所有的方程式中消除。首先,必須求出 x_d 的函數 g_i

x_d=g_i(x_1,\ x_2,\ x_3,\ \dots,\ x_{d-1},\ x_{d+1},\ \dots,\ x_N,\ t)

將函數 g_i 代入系統裏所有提到 x_d 的方程式,就可以消除相關變量 x_d

假設一個物理系統原本的自由度N 。現在,新設定 h 個完整約束作用於此系統。那麼,這系統的自由度減少為 m=N - h 。可以使用 m 個獨立廣義坐標 (q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_m) 來描述這系統的運動。廣義坐標的轉換方程式為

x_i=x_i(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_m,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots N

微分形式[编辑]

有些時候,一個物理系統的某約束條件會以微分形式的方程式來表示,而不是以上述函數形式。思考第 i 個約束條件的微分形式的方程式:

\sum_j\ c_{ij} dq_j+c_i dt=0

其中,c_{ij}c_{i} 分別為微分 dq_jdt 的係數。

假若此約束方程式是可積分的,也就是說,存在有一個函數 f_i(q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots,\ q_N,\ t)=0全微分滿足相等關係式

df_i=\sum_j\ c_{ij} dq_j+c_i dt=0

則此約束條件是完整約束;否則,此約束條件是非完整約束。請注意到,所有的完整約束和某些非完整約束都可以表示為微分形式的方程式;但是,並不是所有的非完整約束都可以這樣表示。跟廣義速度有關的非完整約束就不能這樣表示。所以,假若知道一個約束條件的微分形式的方程式,這約束條件到底是完整約束,還是非完整約束,需要看其微分形式的方程式是否可積分來決定。

系統分類[编辑]

為了要有條不紊地研究經典力學,必須有一個合理的分類制度。物理系統可以分類為完整系統與非完整系統。許多理論或方程式成立的條件之一,就是系統裏所有的約束都必須是完整約束。例如,假若一個物理系統是完整系統與單演系統,則拉格朗日方程式成立的必需與足夠的條件是哈密頓原理[1]

實例[编辑]

簡單擺

一個簡單擺的擺錘遵守完整約束

 \sqrt{x^2+y^2} - L=0

其中,(x,\ y) 是擺錘的位置,L 是擺長。

剛體內部的粒子們遵守完整約束

(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j)^2 - L_{ij}^2=0

其中,\mathbf{r}_i , \mathbf{r}_j 分別是粒子 P_iP_j 的位置,L_{ij} 是它們之間的距離。

參閱[编辑]

拉格朗日力學
哈密頓力學
非完整系統
定常系統
單演系統
保守系統

參考文獻[编辑]

  1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 35. ISBN 0201657023 (English).