完全数

完全数，又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因數函數），恰好等於它本身。

例如:第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1＋2＋3＝6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1＋2＋4 + 7 + 14＝28。后面的数是496、8128。

完全數的發現

古希腊数学家欧几里得是通过 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) 的表达式发现头四个完全数的。

当 n = 2:   2¹(2² − 1) = 6

当 n = 3:   2²(2³ − 1) = 28

当 n = 5:   2⁴(2⁵ − 1) = 496

当 n = 7:   2⁶(2⁷ − 1) = 8128

一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式：$2^{n-1}(2^n-1)$，此事實的充分性由欧几里得证明，而必要性則由歐拉所證明。

其中$2^n-1$是素数，上面的6和28对应着n=2和3的情况。我们只要找到了一个形如2ⁿ − 1的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完美数。

尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是$12p+1$或$36p+9$的形式，其中p是素数。在$10^{18}$以下的自然数中奇完全数是不存在的。

首十個完全數是：

1. 6 (1位)
2. 28 (2位)
3. 496 (3位)
4. 8128 (4位)
5. 33550336 (8位)
6. 8589869056 (10位)
7. 137438691328 (12位)
8. 2305843008139952128 (19位)
9. 2658455991569831744654692615953842176 (38位)
10. 191561942608236107294793378084303638130997321548169216 (55位)

历史

古代数学家根据當時已知的四个完全数做了很多假设，大部分都是错误的。其中的一个假设是：因为2，3，5，7恰好是头4个素数，第五个完全数应该是第五个素数即当n＝11的时候，可是$2^{11}-1=23 \times 89$ 并不是素数。因此n＝11不是完全数。另外两个错误假设是：

• 头四个完全数分别是1，2，3，4位数，第五个应该是5位数。
• 完全数应该是交替以6或者8结尾。

而事实上，第五个完全数$33550336=2^{12}(2^{13}-1)$，是8位数。对于第二个假设，第五个完全数确实是以6结尾，但是第六个完全数8 589 869 056仍是以6结尾，应該說完全數只有以6和8结尾才對。

对完全数的研究，至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。

每一个梅森素数给出一个偶完全数。到2009年为止共发现了47个完全数，且都是偶数。

奇妙性质

以下是目前已發現的完全數中，共有的性質。

• 偶完全数都是以6或8结尾。如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。
• 除6以外的偶完全数，把它的各位数字相加，直到变成個位数,那么这个個位数一定是1：（亦即：除6以外的完全数，被9除都餘1。）

28：2+8=10，1+0=1
496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1

• 所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，从$2^{p-1}$到$2^{2p-2}$:

6=$2^1+2^2$
28=$2^2+2^3+2^4$
496=$2^4+2^5+2^6+2^7+2^8$
8128=$2^6+2^7+...+2^{12}$
33550336=$2^{12}+2^{13}+...+2^{24}$

• 每个偶完全数都可以写成连续自然数之和：

6=1+2+3
28=1+2+3+4+5+6+7
496=1+2+3+…+30+31

• 除6以外的偶完全数，还可以表示成连续奇立方数之和（被加的项共有$\sqrt{2^{p-1}}$)：

28=$1^3+3^3$
496=$1^3+3^3+5^3+7^3$
8128=$1^3+3^3+5^3+...+15^3$
33550336=$1^3+3^3+5^3+...+125^3+127^3$

• 每个完全数的所有约数（包括本身）的倒数之和，都等于2：（這可以通分母證得。因此每個完全數都是調和數。）

1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2
1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2

• 它们的二进制表达式也很有趣：（因為偶完全數形式均如$2^{n-1}(2^n-1)$）

$(6)_{10}=(110)_2$
$(28)_{10}=(11100)_2$
$(496)_{10}=(111110000)_2$
$(8128)_{10}=(1111111000000)_2$
$(33550336)_{10}=(1111111111111000000000000)_2$
$(8589869056)_{10}=(111111111111111110000000000000000)_2$
$(137438691328)_{10}=(1111111111111111111000000000000000000)_2$

奇完全數

用计算机已经证实了，在10³⁰⁰以下，没有奇的完全数；至今还证明了，如果奇的完全数存在，则它至少包含11个不同素数（包含一個不少於7位數的質因子）但不包含3，亦不會是立方數。一般猜测：奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限？至今都不能回答。

Carl Pomerance 提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。

奇完全数的部分条件

• N > 10¹²⁰⁰，result published in 2012。
• N是以下形式：

$N=q^{\alpha} p_1^{2e_1} \ldots p_k^{2e_k},$

其中：

• q，p₁，…，p_k是不同的素数（Euler）。
• q ≡ α ≡ 1 (mod 4) （Euler）。
• N的最小素因子必须小于(2k + 8) / 3 （Grün 1952）。
• $e_1$≡$e_2$...≡$e_k$ ≡ 1 (mod 3)的关系不能满足（McDaniel 1970）。
• 要么q^α > 10⁶²，要么对于某个j有$p_j^{2e_j}$ > 10⁶²（Cohen 1987）。
• $N<2^{4^{k+1}}$（Nielsen 2003）。

• N的最大素因子必须大于10⁸（Takeshi Goto和Yasuo Ohno，2006）。
• N的第二大素因子必须大于10⁴，第三大素因子必须大于（Iannucci 1999，2000）。
• N至少要有75个素因子，其中至少9个是不同的。如果3不是素因子之一，则至少要有12个不同的素因子。（Nielsen 2006；Kevin Hare 2005）。

• 如果对于所有的i，都有$e_i$ ≤ 2，那么：
  • N的最小素因子必须大于739（Cohen 1987）。
  • α ≡ 1 (mod 12)或α ≡ 9 (mod 12) （McDaniel 1970）。

Touchard定理

這個定理說明若存在奇完全數，其形式必如$12m+1$或$36q+9$。最初的證明在1953年由Jacques Touchard首先證明，1951年 van der Pol用非線性偏微分方程得出證明。Judy A. Holdener在《美國數學月刊》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。

證明會使用這三個結果：（下面的n,k,j,m,q均為正整數）

• 歐拉證明了奇完全數的形式必如 $4j+1$。[1]
• $\sigma(n)$ 表示 $n$ 的正因數之和。完全數的定義即為 $2n = \sigma(n)$。
  $\sigma(n)$ 為積性函數
• 引理：若 $n=6k-1$（$k$是正整數），則 $n$ 非完全數。

引理的證明：

使用反證法，設$n$為完全數，且$n \equiv -1 \pmod{6}$。

$n \equiv -1 \pmod{3}$。因為3的二次剩餘只有0,1，故$n$非平方數，因此其正因數個數為偶數。

$n$有正因數$d$，則可得：

$d \equiv 1 \pmod{3}$ 且 $n/d \equiv -1 \pmod{3}$；或

$d \equiv -1 \pmod{3}$ 且 $n/d \equiv 1 \pmod{3}$。

因此，$(n/d + d) \equiv 0 \pmod{3}$。故$\sigma(n) = \sum_{ d < \sqrt{n} } d + n/d \equiv 0 \pmod{3}$。

但$2n \equiv 2(-1) \equiv 1 \pmod{3}$ ，矛盾。■

故 $n$ 的形式只可能為 $6k+1$ 或 $6k+3$。

若$n=6k+1$，根據歐拉的結果，$n=4j+1$，綜合兩者，得 $n=12m+1$。

若$n=6k+3$，$n=4j+1$，得 $n=12m+9=3(4m+3)$。若 $m$ 非3的倍數，3和 $4m+3$ 互質。

因為 $\sigma(n)$ 為積性函數，可得$\sigma(n)=\sigma(3) \sigma(4m+3) = 4 \sigma(4m+3) \equiv 0 \pmod{4}$。

但$2n=2(4j+1) \equiv 2 \pmod{4}$，出現了矛盾。故知 $m$ 是3的倍數。代入 $m=3q$，可得 $n=36q+9$。

參考

• Odd Perfect Numbers, Gagan Tara Nanda

參見

• 高合成數
• 婚約數
• 親和數
• 豐數
• 亏数
• 梅森素数
• 半完全數
• 佩服數