定常系統

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經典力學裏,如果一個系統的所有約束都是定常約束(scleronomous constraint),則稱此系統為定常系統(scleronomous system)。定常約束顯性地不含時間。假若約束顯性地含時間,則稱此約束為非定常約束

應用[编辑]

主要項目:廣義速度

在三維空間裏,一個質量為m、速度為\mathbf{v}的粒子的動能

T =\frac{1}{2}m v^2

速度是位置\mathbf{r}對於時間t的導數。應用偏微分連鎖律,可以得到

\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\sum_i\ \frac{\partial \mathbf{r}}{dq_i}\dot{q}_i+\frac{\partial \mathbf{r}}{dt}

其中,q_i是第i個廣義坐標,\dot{q}_i是對應的廣義速度。

所以,

T =\frac{1}{2}m\sum_i\ \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\right)^2

將方程式展開[1],動能可以分為三個項目表示:

T =T_0+T_1+T_2

其中,

T_0=\frac{1}{2}m\left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\right)^2
T_1=\sum_i\ m\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\dot{q}_i
T_2=\sum_{i,j}\ \frac{1}{2}m\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_j}\dot{q}_i\dot{q}_j,\!

T_0T_1T_2分別為廣義速度\dot{q}_i的0次、1次、2次齊次函數。如果這系統是定常系統,位置不顯性地含時間,\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}=0,則只有T_2不等於零。所以,T =T_2,動能是廣義速度的2次齊次函數。

實例1:單擺[编辑]

單擺

如右圖所示,單擺是由一個擺錘與一條繩子組成的簡單機械;繩子的上端固定,下端繫著擺錘。由於這繩子是無法伸縮的,繩子的長度是常數。所以,這系統是定常系統;它遵守定常約束

 \sqrt{x^2+y^2} - L=0

其中,(x,\ y)是擺錘的位置,L是擺長。

實例2:受驅擺[编辑]

單擺的繩子上端受到簡諧運動的驅動。

參考右圖,假設一個單擺的繩子上端受到簡諧運動的驅動:

x_t=x_0\cos\omega t

這裏,x_0振幅\omega角頻率t時間

由於無法伸縮繩子的長度是常數,擺錘與繩子上端的直線距離保持不變。但是,因為單擺的繩子上端受到簡諧運動的驅動,這個受驅擺系統是非定常系統;它遵守非定常約束

 \sqrt{(x - x_0\cos\omega t)^2+y^2} - L=0

參閱[编辑]

拉格朗日力學
完整系統
非定常系統
單演系統
保守系統

參考文獻[编辑]

  1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980年: pp. 25. ISBN 0201657023 (English).