实射影平面

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
ProjectivePlaneAsSquare.svg
射影平面的基本多边形
MöbiusStripAsSquare.svg
莫比乌斯带只有一条边,将相对开边反向黏合起来便成为闭合的射影平面。
KleinBottleAsSquare.svg
对照克莱因瓶,是莫比乌斯带相对开边同向黏合。

数学中,射影平面real projective plane)是R3中所有过原点直线组成的空间,通常记作\mathbb{R}P^2,无歧义时也记为P^2。这是一个不可定向紧致无边界二维流形(即一个曲面),它在几何中有基本的应用,但不能无自交地嵌入我们通常的三维欧几里得空间。它的亏格是1,故欧拉示性数也为1。

实射影平面有时描述为基于莫比乌斯带的构造:如果能把莫比乌斯带的(一条)边以恰当的方向黏合,将得到射影平面。等价地,沿着莫比乌斯带的边界黏合一个圆盘给出射影平面。

由于莫比乌斯带可构造为将正方形的一组对边反向黏合,从而实射影平面可以表示为单位正方形([0,1] × [0,1])将它的边界通过如下等价关系等同:

(0, y) ~ (1, 1 − y)  对0 ≤ y ≤ 1 ,

以及

(x, 0) ~ (1 − x, 1)  对0 ≤ x ≤ 1,

即如右图所示。因为正方形同构于圆盘,故这也等价于将圆盘边界的对径点黏合。

构造[编辑]

考虑一个球面,设球面的大圆(假设地球是一个球星,那么赤道就是大圆)是“直线”,对径点对是“点”(一对对径点是通过大圆圆心的直线与大圆相交的两个点)。容易验证它们满足射影平面所需的公理:

  • 任何两个不同的大圆交于一对对径点;
  • 任何两个不同的对径点对位于惟一一个大圆上。

这就是实射影平面

如果我们将球面上每个点与其对径点等同,则我们得到了实射影平面的一个表示,其中射影空间的“点”确实是点。

射影平面是球面在等价关系~下的商空间,这个等价关系~就是对径关系,即 x ~ y当且仅当y = −x。这个球面的商空间同构于R3中所有通过原点的直线的集合。

所得的曲面是一个2维不可定向流形,有一点难以想象,因为它不能无自交地嵌入三维欧几里得空间中。

从球面到实射影平面的商映射事实上是一个(2对1)覆盖映射。从而实射影平面的基本群是二阶循环群,即整数模2群。可以取上图中的环路AB作为生成元

实射影平面浸入三维空间[编辑]

罗马曲面动画示意图

射影平面不能嵌入(这要求没有自交)三维空间,不过可以浸入(局部邻域没有自交点)。伯伊曲面Boy's surface)是浸入的一个实例。

罗马曲面Roman surface)是从射影平面到三维空间一个更加退化的映射,包含一个交叉帽cross-cap)。同样对具有一个交叉套的球面也成立。

射影平面不能嵌入三维欧几里得空间,可作如下证明:假设可以嵌入,由广义若尔当曲线定理它将在三维欧几里得空间中围出一个紧区域。向外的单位法向量场将给出边界流形的一个定向,但边界流形就是射影平面,它是不可定向的。这是一个矛盾,从而我们所假设的嵌入必定是错误的。

实射影平面的一个多面体表示是四面半六面体tetrahemihexahedron)。

从相反的方向来看,半立方体hemi-cube)、半十二面体hemi-dodecahedron)以及半二十面体hemi-icosahedron)、抽象正则多面体abstract regular polychora),都可以构造成射影平面中的正则图形。

齐次坐标[编辑]

平面中的直线集合可以用齐次坐标表示。直线ax+by+c=0可以表示为[a:b:c]。这些坐标有等价关系,对所有非零d,[a:b:c] = [da:db:dc]。从而相同直线的不同表示dax+dby+dc=0有同样的坐标。坐标集合[a:b:1]给出了通常实平面,而坐标集合[a:b:0]定义了一个无穷远直线

嵌入4维空间[编辑]

射影平面可嵌入一个4维欧几里得空间。考虑\mathbb RP^2是2维球面S^2 = \{(x,y,z) \in \mathbb R^3 : x^2+y^2+z^2 = 1\}由对径关系(x,y,z)\sim (-x,-y,-z)\,得到的。考虑由(x,y,z)\longmapsto (xy,xz,y^2-z^2,2yz)给出的函数\mathbb R^3 \to \mathbb R^4。将这个映射限制在区域S^2上,因为它是一个二次多项式,故可分解,给出一个映射\mathbb RP^2 \to \mathbb R^4,并且这个映射是嵌入。注意到这个嵌入有一个到R^3的投影,即罗马曲面

高阶亏格[编辑]

基本多边形一文提供了高阶亏格实射影平面的一个描述。

又见[编辑]

参考文献[编辑]