实射影空间

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

数学中,实射影空间real projective space),记作 RPn,是 Rn+1 中的直线组成的射影空间。它是一个 n光滑流形,也是格拉斯曼流形的一个特例。

构造[编辑]

与所有射影空间一样,RPn 是通过取 Rn+1 − {0} 在等价关系 x ∼ λx 对所有实数 λ ≠ 0 下的商空间。对所有 x 属于 Rn+1 − {0},总可找到一个 λ 使得t λx范数为 1。恰好有相差一个符号的两个这样的 λ。

RPn 也可通过将 Rn+1 中单位 n-维球面 Sn对径点等同起来得到。

进一步我们限制在 Sn 的上半球面,仅将边界赤道上的对径点等同。这说明 RPnn-维圆盘 Dn 将边界 ∂Dn = Sn−1 上的对径点等同。

低维例子[编辑]

\mathbf{RP}^1 也成为实射影直线拓扑等价于圆周

\mathbf{RP}^2 称为实射影平面

\mathbf{RP}^3微分同胚)是 SO(3),从而有一个群结构;覆叠映射 S^3 \to \mathbf{RP}^3 是一个群映射 \operatorname{Spin}(3) \to SO(3),这里 Spin(3)SO(3) 的万有覆叠李群

拓扑[编辑]

n-维球面的对径映射(将 x 送到 -x)生成 Sn 上一个 Z2 群作用。上已提到,这个作用的轨道空间是 RPn。这个作用恰是一个覆叠空间作用,使 Sn 成为 RPn二重覆叠。因为对 n ≥ 2,Sn单连通的,它们在此情形也是万有覆叠。从而当 n > 1 时,RPn基本群Z2(当 n=1 基本群是 Z 因为同胚于 S1)。基本的一个生成元是连接 Sn 中一组对径点的曲线投影到 RPn 上的闭曲线。

点集拓扑[编辑]

n-维射影空间的一些行之:

  • 1-维射影空间同胚与圆周。
  • 2-维射影空间不能嵌入 R3。但可以嵌入 R4 以及浸入 R3
  • n-维射影空间事实上同胚于 R(n+1)2 中所有迹为 1 的对称 (n+1)×(n+1) 幂等线性变换组成的子流形。
  • n-维射影空间是紧连通空间,基本群同构于 2 阶循环群(从 n-维球面到 n-维射影空间的商映射是 n-维射影射影空间被一个道路连通空间的二重覆叠)。

同伦群[编辑]

\mathbf{RP}^n 的高次同伦群恰好是 S^n 的高阶同伦群,有纤维化的同伦长正合序列得出。

确切地,这个纤维丛是

\mathbf{Z}/2 \to S^n \to \mathbf{RP}^n.

你也可以类似于复射影空间将其写成

S^0 \to S^n \to \mathbf{RP}^n

O(1) \to S^n \to \mathbf{RP}^n.

低次同调群是

\pi_i \mathbf{RP}^n = \begin{cases}
0 & i = 0\\
\mathbf{Z}/2 & i = 1\\
0 & 1 < i < n\\
\mathbf{Z} & i = n.
\end{cases}

光滑结构[编辑]

实射影空间是光滑流形。在 Sn 的齐次坐标 (x1...xn+1) 中,考虑子集 Ui 使得 xi ≠ 0。每个 Ui 同胚于 Rn 中的开单位球体,且坐标转移函数是光滑的。这给出了 RPn 一个光滑结构

CW 结构[编辑]

实射影空间 RPn 有一个 CW结构,在每一维有 1 个胞腔。

Sn 上的齐次坐标 (x1 ... xn+1) 中,坐标邻域 U1 = {(x1 ... xn+1)|x1 ≠ 0} 可与 n-维圆盘 Dn 的内部等价。当 xi = 0,我们有 RPn - 1。从而 RPnn - 1 骨架是 RPn - 1,而且黏贴映射 f: Sn-1RPn - 1 是一个二对一映射。我们可令

\mathbf{RP}^n = \mathbf{RP}^{n-1} \cup_f D^n.

归纳证明 RPn 是一个 CW 复形,在每一维有 1 个胞腔。

这些胞腔与旗流形flag manifold)上一样是舒伯特胞腔Schubert cell)。这便是,取一个完全(称为标准旗)0 = V0 < V1 <...< Vn;则闭 k-胞腔是属于 Vk 中的直线。而开 k-胞腔(k-胞腔的内部)是 Vk\Vk-1 中的直线(属于 Vk 但不属于 Vk - 1 的直线)。

在齐次坐标(关于旗的)中,这些胞腔是

[*:0:0:\dots:0]
[*:*:0:\dots:0]
\vdots
[*:*:*:\dots:*].

这不是一个正则 CW 结构,因黏贴映射是二对一的。但它的覆盖是球面上一个正则 CW 结构,在每一维有 2 个胞腔;事实上,这是球面上最小的正则 CW 结构。

在光滑结构的帮助下,莫尔斯函数的存在性可证明 RPn 是一个 CW 复形。在齐次坐标中,这样一个函数可为:

g(x_1, \cdots, x_{n+1}) = \sum_1 ^{n+1} i \cdot |x_i|^2.

在每个邻域 Uig 有非退化奇点 (0...,1,...0),这里 1 出现于第 i 个位置,具有莫尔斯指标 i。这说明了 RPn 是一个在每一维有一个胞腔的 CW 复形。

同调[编辑]

与上面 CW 结构相伴的胞腔链复形在每个维数 0,...,n 恰有一个胞腔。对每个维数 k,边界映射 dk : δDkRPk-1/RPk-2,坍塌到 Sk - 1 上的赤道然后将对径点等同。在奇数(偶数)维,度数为 0(2):

\mathrm{deg}(d_k) = 1 + (-1)^k.\,

从而整同调


H_i(\mathbf{RP}^n) =
\begin{cases}
\mathbf{Z} & i = 0 \mbox{ or } i = n \mbox{ odd,}\\
\mathbf{Z/2Z} & 0<i<n,\ i\ \mbox{odd,}\\
0 & \mbox{else.}
\end{cases}

可定向性[编辑]

\mathbf{RP}^n 可定向当且仅当 n 为奇数,上面的同调计算已经做了说明。更具体地,\mathbf{R}^p 上的对径映射有符号 (-1)^p,所以它是保定向的当且仅当 p 是偶数。从而定向特征标orientation character)是:\pi_1(\mathbf{RP}^n) 中的非平凡回路作为 (-1)^{n+1} 作用在定向上,所以 \mathbf{RP}^n 可定向当且仅当 n+1 为偶数,即 n 为奇数。

重言丛[编辑]

在实射影空间上有一个自然的线丛,称为重言丛。更确切地,这称为重言子丛,也存在一个对偶 n-维丛称为重言商丛。

几何[编辑]

实射影空间有一个常正数量曲率度量,由二重覆叠的标准圆球面(对极映射是一个等距)得来。

对标准圆度量,其截面曲率恒等于 1。

测度[编辑]

在标准圆度量中,射影空间的测度恰好是球面测度的一半。

无穷实射影空间[编辑]

无穷实射影空间构造为有限射影空间的正向极限或并集:

\mathbb{RP}^\infty := \lim_n \mathbb{RP}^n.

拓扑上说,这是艾伦伯格-麦克兰恩空间Eilenberg-MacLane spaceK(\mathbb{Z}/2,1)(它被可缩的无穷球面 S^\infty 二重覆叠)并且是 BO(1)线丛分类空间(更一般地,无穷格拉斯曼流形向量丛的分类空间)。

系数取 Z/2 的上同调环

H^*(\mathbb{RP}^\infty;\mathbb{Z}/2) = \mathbb{Z}/2[w_1],

这里 w_1 是第一斯蒂弗尔-惠特尼类: 它是 w_1(其度数为 1)上的自由 \mathbb{Z}/2-代数。

相关条目[编辑]