实质条件

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命题演算,或在数学的逻辑演算中,实质条件實質蘊涵蕴涵算子是一种二元真值泛函逻辑运算符,它有着如下形式

如果A那么B,

这裡的A和B是陈述变量(可以被语言中任何有意义的可表示的句子所替代)。在这种形式的陈述中,第一项这裡的A,叫做前件;第二项这裡的B,叫做后件。前件的真实是后件的真实的充分条件,而后件的真实是前件的真实的必要条件

这个算子使用右箭头“→”(有时用符号“⇒”或“⊃”)来符号化,符合“如果A為真,那么B亦為真”被写为如下:

  •  A \to B
  • A \supset B
  • A \Rightarrow B

真值表[编辑]

涉及实质蕴涵的真值表定义如下:

~A ~B A \rightarrow B(符合了「如果A為真,那麼B必為真」)
F F T
F T T
T F F
T T T

由此可见,A \rightarrow B等价于\neg A \vee B

形式性質[编辑]

實質條件不要混淆於蘊涵關系 \models 。但在多數邏輯包括經典邏輯中二者之間有密切關聯。例如下列原理成立:

  • 如果\Gamma\models\psi\emptyset\models\phi_1\land\dots\land\phi_n\rightarrow\psi對于某些\phi_1,\dots,\phi_n\in\Gamma。(這是演繹定理的特定形式。)
  • 上述的逆命題
  • \rightarrow \models 而二者都是單調的;就是說如果\Gamma\models\psi\Delta\cup\Gamma\models\psi,并且如果\phi\rightarrow\psi(\phi\land\alpha)\rightarrow\psi對於任何α, Δ。(用結構規則的術語說,這叫做弱化。)

但是這些原理不在所有邏輯中成立。它們顯著的不成立於非單調邏輯中,也不成立於相干邏輯中。

實質蘊涵的其他性質:

  • 真理保持:在其下所有變量被指派為真值‘真’的釋義生成真值‘真’作為實質蘊涵的結果。

注意A \rightarrow (B \rightarrow C) 邏輯等價(A \and B) \rightarrow C;這個性質有時叫做柯里化。由於這些性質,對→符號採用右結合約定是合適的。

對自然語言的符号表示[编辑]

在介绍逻辑的课本中经常包括的常见的练习是符号表示。这些练习给学生自然语言的一个句子或一段文本,学生必须把它们转换成符号语言。这是通过识别普通语言的等价的逻辑术语而完成的,这通常包括实质条件、析取合取否定和(经常的)双条件。更高级的逻辑书籍和介绍性读物的后续章节经常增加等号存在量词全称量词

用来识别实质条件的、在普通语言中的一些短语包括,“如果/当”、“仅当”、“假定”、“假如”、“假设”、“蕴涵”、“即使”和“万一”。很多这些短语指示前件,另一些指示后件。正确识别“蕴涵方向”是重要的。比如,“A仅当B”被如下陈述捕获

A → B

而“A当B”被如下陈述正确捕获

B → A

蕴涵算符的中文意思包括“那么”“则”“是因为”“如果……就……”。

中文 数学表达式
如果天下雨,我就带伞 天下雨→我带伞
学生只有喜欢数学,才会学好物理
学生物理学得好是因为他喜欢数学
物理学得好→喜欢数学

同其他条件陈述的比较[编辑]

使用这个算子是逻辑学家规定的,作为结果,它产生了一些不想要的真理。比如,前件为假的任何实质条件陈述都是真的。所以陈述“2是奇数蕴涵2是偶数”是真的。类似的,后件为真的任何实质条件都是真的。所以陈述“如果猪接管了农场并谋杀了农民,则巴黎是在法国”是真的。

这些不想要的真理的出现是因为英语(和其他自然语言)的使用者被诱惑于把实质条件混淆于直陈条件,或其他条件陈述如反事实条件。通过不把条件陈述读做“如果”和“则/那么”可以减轻这种诱惑。最常见的方式是把A → B读做“要么不是情况A要么是情况B(或二者)”,或更简单的“要么A为假要么B为真(或二者)”。(當A为假,此式即已被平凡的(trivial)滿足。这种等价陈述被捕获于使用否定和析取的逻辑符号\neg A \vee B。)

引用[编辑]

  • Brown, Frank Markham(2003), Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.
  • Edgington, Dorothy (2001), "Conditionals", in Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell.
  • Edgington, Dorothy (2006), "Conditionals", in Edward N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Eprint.
  • Quine, W.V.(1982), Methods of Logic, (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), 4th edition, Harvard University Press, Cambridge, MA.

外部链接[编辑]