实质条件

文氏图 $A \rightarrow B$

在命题演算，或在数学的逻辑演算中，实质条件、實質蘊涵或蕴涵算子是一种二元的真值泛函的逻辑运算符，它有着如下形式

如果A那么B，

这裡的A和B是陈述变量（可以被语言中任何有意义的可表示的句子所替代）。在这种形式的陈述中，第一项这裡的A，叫做前件；第二项这裡的B，叫做后件。前件的真实是后件的真实的充分条件，而后件的真实是前件的真实的必要条件。

这个算子使用右箭头“→”（有时用符号“⇒”或“⊃”）来符号化，符合“如果A為真，那么B亦為真”被写为如下:

$A \to B$
$A \supset B$
$A \Rightarrow B$

真值表 [编辑]

涉及实质蕴涵的真值表定义如下：

$~A$	$~B$	$A \rightarrow B$ （符合了「如果A為真，那麼B必為真」）
F	F	T
F	T	T
T	F	F
T	T	T

由此可见， $A \rightarrow B$ 等价于 $\neg A \vee B$ 。

形式性質 [编辑]

實質條件不要混淆於蘊涵關系 $\models$ 。但在多數邏輯包括經典邏輯中二者之間有密切關聯。例如下列原理成立:

如果 $\Gamma\models\psi$ 則 $\emptyset\models\phi_1\land\dots\land\phi_n\rightarrow\psi$ 對于某些 $\phi_1,\dots,\phi_n\in\Gamma$ 。（這是演繹定理的特定形式。）

上述的逆命題

$\rightarrow$ 和 $\models$ 而二者都是單調的；就是說如果 $\Gamma\models\psi$ 則 $\Delta\cup\Gamma\models\psi$ ，并且如果 $\phi\rightarrow\psi$ 則 $(\phi\land\alpha)\rightarrow\psi$ 對於任何α, Δ。（用結構規則的術語說，這叫做弱化。）

但是這些原理不在所有邏輯中成立。它們顯著的不成立於非單調邏輯中，也不成立於相干邏輯中。

實質蘊涵的其他性質:

左分配律: $A \rightarrow (B \rightarrow C) \rightarrow ((A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C))$

傳遞律: ( $A \rightarrow B) \rightarrow ((B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C))$

冪等律: $A \rightarrow A$

真理保持:在其下所有變量被指派為真值‘真’的釋義生成真值‘真’作為實質蘊涵的結果。

前交換律: ( $A \rightarrow (B \rightarrow C)) \equiv (B \rightarrow (A \rightarrow C))$

注意 $A \rightarrow (B \rightarrow C)$ 邏輯等價於 $(A \and B) \rightarrow C$ ；這個性質有時叫做柯里化。由於這些性質，對→符號採用右結合約定是合適的。

對自然語言的符号表示 [编辑]

在介绍逻辑的课本中经常包括的常见的练习是符号表示。这些练习给学生自然语言的一个句子或一段文本，学生必须把它们转换成符号语言。这是通过识别普通语言的等价的逻辑术语而完成的，这通常包括实质条件、析取、合取、否定和（经常的）双条件。更高级的逻辑书籍和介绍性读物的后续章节经常增加等号、存在量词和全称量词。

用来识别实质条件的、在普通语言中的一些短语包括，“如果/当”、“仅当”、“假定”、“假如”、“假设”、“蕴涵”、“即使”和“万一”。很多这些短语指示前件，另一些指示后件。正确识别“蕴涵方向”是重要的。比如，“A仅当B”被如下陈述捕获

A → B

而“A当B”被如下陈述正确捕获

B → A

蕴涵算符的中文意思包括“那么”“则”“是因为”“如果……就……”。

中文	数学表达式
如果天下雨，我就带伞	天下雨→我带伞
学生只有喜欢数学，才会学好物理学生物理学得好是因为他喜欢数学	物理学得好→喜欢数学

同其他条件陈述的比较 [编辑]

使用这个算子是逻辑学家规定的，作为结果，它产生了一些不想要的真理。比如，前件为假的任何实质条件陈述都是真的。所以陈述“2是奇数蕴涵2是偶数”是真的。类似的，后件为真的任何实质条件都是真的。所以陈述“如果猪接管了农场并谋杀了农民，则巴黎是在法国”是真的。

这些不想要的真理的出现是因为英语（和其他自然语言）的使用者被诱惑于把实质条件混淆于直陈条件，或其他条件陈述如反事实条件。通过不把条件陈述读做“如果”和“则/那么”可以减轻这种诱惑。最常见的方式是把A → B读做“要么不是情况A要么是情况B（或二者）”，或更简单的“要么A为假要么B为真（或二者）”。（當A为假，此式即已被平凡的（trivial）滿足。这种等价陈述被捕获于使用否定和析取的逻辑符号 $\neg A \vee B$ 。）

引用 [编辑]

Brown, Frank Markham（2003）, Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.