审敛法

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无穷级数
\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}
无穷级数

数学领域, 收敛性判别法是判断无穷级数收敛, 条件收敛, 绝对收敛, 区间收敛发散的方法.

判别法列表[编辑]

  • 通项极限判别法. 如果序列通项的极限不为零或无定义, 即 \lim_{n\rightarrow\infty}a_n \ne 0, 那么级数不收敛. 在这种意义下, 部分和是柯西数列当且仅当极限存在且为零. 这一判别法在通项极限为零时无效.
\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = r.

如果 r < 1, 那么级数收敛. 如果 r > 1, 那么级数发散. 如果 r = 1, 比例判别法失效, 级数可能收敛也可能发散.

r = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|},

其中 "lim sup" 表示上极限 (可能为无穷; 如果极限存在,极限值等于上极限).

如果 r < 1, 级数收敛. 如果 r > 1, 级数发散. 如果 r = 1, 开方判别法无效, 级数可能收敛也可能发散.

\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} f(x)\, dx < \infty,

那么级数收敛. 如果积分发散, 那么级数也发散.

  • 比较判别法. 如果 \left \{ a_n \right \}, \left \{ b_n \right \} > 0, 并且极限 \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} 存在非零, 那么 \sum_{n=1}^\infty a_n 收敛当且仅当 \sum_{n=1}^\infty b_n 收敛.


参阅[编辑]

参考文献[编辑]


外部链接[编辑]