审敛法

在数学领域, 收敛性判别法是判断无穷级数收敛, 条件收敛, 绝对收敛, 区间收敛或发散的方法.

判别法列表

• 通项极限判别法. 如果序列通项的极限不为零或无定义, 即 $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n \ne 0$, 那么级数不收敛. 在这种意义下, 部分和是柯西数列当且仅当极限存在且为零. 这一判别法在通项极限为零时无效.

• 比值审敛法(检比法). 假设对任何的 n, $a_n > 0$. 如果存在 $r$ 使得

$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = r.$

如果 r < 1, 那么级数收敛. 如果 r > 1, 那么级数发散. 如果 r = 1, 比例判别法失效, 级数可能收敛也可能发散.

• 根值审敛法(检根法). 记

$r = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|},$

其中 "lim sup" 表示上极限 (可能为无穷; 如果极限存在,极限值等于上极限).

如果 r < 1, 级数收敛. 如果 r > 1, 级数发散. 如果 r = 1, 开方判别法无效, 级数可能收敛也可能发散.

• 积分判别法. 级数可以与积分式比较来确定其敛散性. 令 $f(n) = a_n$ 为一正项 单调递减函数. 如果

$\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} f(x)\, dx < \infty,$

那么级数收敛. 如果积分发散, 那么级数也发散.

• 比较判别法. 如果 $\left \{ a_n \right \}, \left \{ b_n \right \} > 0$, 并且极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ 存在非零, 那么 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛当且仅当 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 收敛.

• 阿贝尔判别法

参阅

狄利克雷判别法

外部链接

• Flowchart for choosing convergence test
• Convergence of infinite series