密克定理

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密克定理是几何学中關於相交圓的定理。1838年,奧古斯特·密克敘述並證明了數條相關定理。许多有用的定理可由其推出。

定理陳述[编辑]

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三圓定理:設三個圓C_1, C_2, C_3交於一點O,而M, N, P分別是C_1C_2, C_2C_3, C_3C_1的另一交點。設AC_1的點,直線MAC_2B,直線PAC_3C。那麼B, N, C這三點共線。

逆定理:如果\triangle ABC是三角形,M, N, P三點分別在邊AB, BC, CA上,那麼三角形\triangle AMP, \triangle BMN, \triangle CNP的外接圓交於一點O


完全四線形定理:如果ABCDEF完全四線形,那麼三角形\triangle EAD, \triangle EBC, \triangle FAB, \triangle FDC的外接圓交於一點 O,稱為密克點

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四圓定理:設C_1, C_2,C_3, C_4為四個圓,A_1B_1C_1C_2的交點,A_2B_2C_2C_3的交點,A_3B_3C_3C_4的交點,A_4B_4C_1C_4的交點。那麼A_1, A_2, A_3, A_4四點共圓當且僅當B_1, B_2, B_3, B_4四點共圓。

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五圓定理:設ABCDE為任意五邊形,五點F, G, H, I, J分別是EABC , ABCD, BCDE, CDEA, DEAB的交點,那麼三角形\triangle ABF, \triangle BCG, \triangle CDH, \triangle DEI, \triangle EAJ的外接圓的五個不在五邊形上的交點共圓,而且穿過這些交點的圓也穿過五個外接圓的圓心。(註:此圓並不穿過五個外接圓的圓心)

逆定理:設C_1,, C_2, C_3, C_4, C_5五個圓的圓心都在圓C上,相鄰的圓交於C上,那麼把它們不在C上的交點與比鄰同樣的點連起來,所成的五條直線相交於這五個圓上。

歷史[编辑]

1838年奧古斯特·密克約瑟夫·劉維爾的期刊《Journal de mathématiques pures et appliquées》(純粹與應用數學雜誌)發表了這定理的一部份。

密克的第一條定理,是很久前已有的著名經典結果,以圓周角定理證明。

完全四線形四圓的交點現在稱為密克點,但這性質雅各布·施泰納在1828年已經知道,威廉·華萊士也很可能已經知道。

五圓定理是一條更一般的定理的特殊情形。這條定理由威廉·金登·克利福德提出及證明。2000年12月20日,江澤民主席出席澳門回歸祖國一周年慶典活動期間,在參觀濠江中學時向該校師生出了一道求証“五點共圓”的問題,令問題重新引起廣泛興趣。阿蘭·孔涅在2002年10月的一個研討會也重提這問題。

外部連結[编辑]