密克定理

密克定理是几何学中關於相交圓的定理。1838年，奧古斯特·密克敘述並證明了數條相關定理。许多有用的定理可由其推出。

定理陳述

三圓定理：設三個圓$C_1$, $C_2$, $C_3$交於一點$O$，而$M$, $N$, $P$分別是$C_1$ 和$C_2$, $C_2$和$C_3$, $C_3$和$C_1$的另一交點。設$A$為$C_1$的點，直線$MA$交$C_2$於$B$，直線$PA$交$C_3$於$C$。那麼$B$, $N$, $C$這三點共線。

逆定理：如果$\triangle ABC$是三角形，$M$, $N$, $P$三點分別在邊$AB$, $BC$, $CA$上，那麼三角形$\triangle AMP$, $\triangle BMN$, $\triangle CNP$的外接圓交於一點$O$。

完全四線形定理：如果$ABCDEF$是完全四線形，那麼三角形$\triangle EAD$, $\triangle EBC$, $\triangle FAB$, $\triangle FDC$的外接圓交於一點 $O$，稱為密克點。

四圓定理：設$C_1$, $C_2$,$C_3$, $C_4$為四個圓，$A_1$和$B_1$是$C_1$和$C_2$的交點，$A_2$和$B_2$是$C_2$ 和$C_3$的交點，$A_3$和$B_3$是$C_3$和$C_4$的交點，$A_4$和$B_4$是$C_1$和$C_4$的交點。那麼$A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$四點共圓當且僅當$B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$四點共圓。

五圓定理：設$ABCDE$為任意五邊形，五點$F$, $G$, $H$, $I$, $J$分別是$EA$和$BC$ , $AB$和$CD$, $BC$和$DE$, $CD$和$EA$, $DE$和$AB$的交點，那麼三角形$\triangle ABF$, $\triangle BCG$, $\triangle CDH$, $\triangle DEI$, $\triangle EAJ$的外接圓的五個不在五邊形上的交點共圓，而且穿過這些交點的圓也穿過五個外接圓的圓心。

逆定理：設$C_1,$, $C_2$, $C_3$, $C_4$, $C_5$五個圓的圓心都在圓$C$上，相鄰的圓交於$C$上，那麼把它們不在$C$上的交點與比鄰同樣的點連起來，所成的五條直線相交於這五個圓上。

歷史

1838年奧古斯特·密克在約瑟夫·劉維爾的期刊《Journal de mathématiques pures et appliquées》（純粹與應用數學雜誌）發表了這定理的一部份。

密克的第一條定理，是很久前已有的著名經典結果，以圓周角定理證明。

完全四線形四圓的交點現在稱為密克點，但這性質雅各布·施泰納在1828年已經知道，威廉·華萊士也很可能已經知道。

五圓定理是一條更一般的定理的特殊情形。這條定理由威廉·金登·克利福德提出及證明。2000年12月20日，江澤民主席出席澳門回歸祖國一周年慶典活動期間，在參觀濠江中學時向該校師生出了一道求証“五點共圓”的問題，令問題重新引起廣泛興趣。阿蘭·孔涅在2002年10月的一個研討會也重提這問題。