密度矩陣

在量子力學裏，密度算符（density operator）與其對應的密度矩陣（density matrix）專門描述混合態量子系統的物理性質。純態是一種可以直接用態向量 $| \psi\rangle$ 來描述的量子態，混合態則是由幾種純態依照統計機率組成的量子態。假設一個量子系統處於純態 $| \psi_1 \rangle$ 、$| \psi_2 \rangle$ 、$| \psi_3 \rangle$ 、……的機率分別為 $w_1$ 、$w_2$ 、$w_3$ 、……，則這混合態量子系統的密度算符 $\rho$ 為

${\rho} = \sum_i w_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i |$ 。

注意到所有機率的總和為1：

$\sum_i w_i =1$ 。

假設 $\{|b_i\rang,\quad i=1,2,3,\dots,n\}$ 是一組規範正交基，則對應於密度算符的密度矩陣 $\varrho$ ，其每一個元素 $\varrho_{ij}$ 為

$\varrho_{ij}=\lang b_i|\rho| b_j\rang= \sum_i w_i\lang b_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i |b_j\rang$ 。

對於這量子系統，可觀察量 $A$ 的期望值為

$\langle A \rangle = \sum_i w_i \langle \psi_i | {A} | \psi_i \rangle = \sum_i \langle \psi_i | {\rho}{A} | \psi_i \rangle = \operatorname{tr}({\rho}{A})$ ，

是可觀察量 $A$ 對於每一個純態的期望值 $\langle \psi_i | {A} | \psi_i \rangle$ 乘以其權值 $w_i$ 後的總和。

混合態量子系統出現的案例包括，處於熱力學平衡或化學平衡的系統、製備歷史不確定或隨機變化的系統（因此不知道到底系統處於哪個純態）。假設量子系統處於由幾個糾纏在一起的亞系統所組成的純態，則雖然整個系統處於純態，每一個亞系統仍舊可能處於混合態。在量子退相干理論裏，密度算符是重要理論工具。

密度算符是一種線性算符，是自伴算符、非負算符（nonnegative operator）、跡數為1的算符。關於密度算符的數學形式論是由約翰·馮·紐曼於1927年給出。

概述

假設一個量子系統的量子態是純態，則這量子態可以用態向量表示為 $| \psi \rangle$ 。幾種純態依照機率組成的量子態稱為混合態。例如，假設一個量子系統處於純態 $| \psi_1 \rangle$ 、$| \psi_2 \rangle$ 的機率都為50%，則這量子系統處於混合態。密度矩陣專門用來表示混合態。任何量子態，不管是純態，還是混合態，都可以用密度矩陣表示。

混合態與疊加態的概念不同，幾種純態通過量子疊加所組成的疊加態仍舊是純態。例如，$(| \psi_1 \rangle + | \psi_2 \rangle)/\sqrt{2}$ 是個純態。

光子偏振案例

平面偏振

圓偏振

橢圓偏振

平面偏振（紫色）光波的電場（藍色）可以分解為兩個相互垂直的分量（紅色與綠色）。

光子的兩種圓偏振態，右旋圓偏振態與左旋圓偏振態，分別以態向量 $|R\rangle$ 、$|L\rangle$ 標記。光子也可能處於疊加態，例如，垂值偏振態與水平偏振態分別為 $(|R\rangle+|L\rangle)/\sqrt{2}$ 、$(|R\rangle-|L\rangle)/\sqrt{2}$ 。更一般地，光子偏振所處於的疊加態可以表示為 $\alpha|R\rangle+\beta|L\rangle$ ；其中，$\alpha$ 、$\beta$ 是係數。這一般式可以表示平面偏振態、圓偏振態、橢圓偏振態等等。

假若讓處於疊加態 $(|R\rangle+|L\rangle)/\sqrt{2}$ 的光子通過左旋圓偏振器，則出射的光子處於左旋圓偏振態 $|L\rangle$ ；假若通過右旋圓偏振器，則出射的光子處於右旋圓偏振態 $|R\rangle$ 。對於這兩種圓偏振模，光子強度都會減半，貌似意味著疊加態 $(|R\rangle+|L\rangle)/\sqrt{2}$ 的一半光子處於量子態 $|R\rangle$ ，另一半處於量子態 $|L\rangle$ ，但這種解釋並不正確，處於量子態 $|R\rangle$ 與 $|L\rangle$ 的光子都有可能被垂直平面偏振器吸收，但是處於量子態 $(|R\rangle+|L\rangle)/\sqrt{2}$ 的光子不會被垂直平面偏振器吸收。

從白熾燈發射出的光子是一種非偏振態光子，不能用疊加態 $\alpha|R\rangle+\beta|L\rangle$ 來描述。特別而言，與平面偏振態光子不同，它通過任何偏振器後都會失去50%強度，與圓偏振態光子不同，使用波片（waveplate）不能直接將它改變為平面偏振態光子。非偏振態光子可以描述為，處於 $| R \rangle$ 的機率是50%，處於 $| L \rangle$ 的機率是50%。它也可以描述為，處於垂值偏振態的機率是50%，處於水平偏振態的機率是50%。

非偏振態光子的量子態不是純態，而是由幾種純態依照統計機率組成。它可以由50%右旋圓偏振態與50%左旋圓偏振態組成，或者，它可以由50%垂直偏振態與50%水平偏振態組成。這兩種組合無法做實驗辨識區分，因此它們被視為同樣的混合態。密度算符含有混合態的所有資料，足夠計算任何關於混合態的可測量性質。

混合態到底源自何處？試想非偏振態光子是怎樣製成的。一種方法是利用處於動力學平衡的系統，這系統擁有很多個微觀態（microstate），伴隨每一個微關態都有其發生的機率（波茲曼因子），它們會因熱力學漲落（thermal fluctuation）從一個微關態變換到另一個微關態。熱力學隨機性可以解釋白熾燈怎樣發射非偏振光子。另一種方法是引入不確定性於系統的製備程序，例如，將光束通過表面粗糙的雙折射晶體，使得光束的不同部分獲得不同偏振。第三種方法應用EPR機制，有些放射性衰變會發射兩個光子朝著反方向移動離開，這糾纏系統的量子態為 $(|R,L\rangle+|L,R\rangle)/\sqrt{2}$ ，整個系統是處於純態，但是每一個光子亞系統的物理行為形同非偏振態光子。

一般而言，混合態時常會出現於幾總純態的統計性混合（例如熱力學平衡）、製備程序的不確定性（例如光子可能移動於稍微不同路徑）、包含在糾纏系統內的亞系統（例如EPR機制）。

純態

假設一個量子系統的量子態是純態，則這量子態可以用態向量表示為 $| \psi \rangle$ ，對應的密度算符定義為

$\rho \ \stackrel{def}{=}\ | \psi \rangle\langle\psi|$ 。

從密度算符的形式，可以推論密度算符是自伴算符：

$\rho^{\dagger}=(| \psi \rangle\langle\psi|)^{\dagger}=| \psi \rangle\langle\psi|=\rho$ 。

假設，物理量 $A$ 是這量子系統的可觀察量，其本徵值為 $a_i$ 的本徵態 $|a_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,n$ 形成一個規範正交基 $\{|a_i \rangle\}$ ，則對可觀察量 $A$ 做測量得到 $a_i$ 的機率 $\mathcal{P}(a_i)$為

$\begin{align}\mathcal{P}(a_i) & \ \stackrel{def}{=}\ |\langle a_i|\psi\rangle|^2 =\langle a_i|\psi\rangle\langle\psi|a_i\rangle \\ & =\sum_k\langle a_k|a_i\rangle\langle a_i|\psi\rangle\langle\psi|a_k\rangle \\ & =\sum_k\langle a_k|P(a_i)\rho|a_k\rangle \\ & =\operatorname{tr}(P(a_i)\rho) \\ \end{align}$ ；

其中，$P(a_i)\ \stackrel{def}{=}\ |a_i\rangle\langle a_i|$ 是對應於本徵態 $|a_i\rang$ 的投影算符，$\operatorname{tr}()$ 是跡數。

可觀察量 $A$ 的期望值為

$\begin{align}\langle A\rangle & \ \stackrel{def}{=}\ \sum_i a_i\mathcal{P}(a_i) =\sum_i a_i\langle a_i|\psi\rangle\langle\psi|a_i\rangle \\ & =\sum_i a_i\langle a_i|\rho|a_i\rangle=\sum_i \langle a_i|A\rho|a_i\rangle=\operatorname{tr}(A\rho) \\ \end{align}$ 。

對於不同的規範正交基，跡數是個不變量。採用任何規範正交基，都可以計算出同樣跡數。另外，機率公式與期望值公式對於密度算符都具有線性，這是很優良的性質，這意味著機率公式與期望值公式也適用於幾個密度算符的線性組合。

由於 $| \psi \rangle$ 被歸一化， 密度算符的跡數為1：

$\begin{align}\operatorname{tr}(\rho) & =\operatorname{tr}(| \psi \rangle\langle\psi|) =\sum_i \langle a_i| \psi \rangle\langle\psi|a_i\rangle \\ & =\sum_i \langle\psi|a_i\rangle\langle a_i| \psi \rangle=\langle\psi|\psi \rangle=1\\ \end{align}$ 。

對於任意歸一化量子態 $\phi$ ，

$0\le\lang\phi|\rho|\phi\rang=\lang\phi|\psi \rangle\langle\psi|\phi\rang=|\lang\phi|\psi \rangle|^2 \le 1$ ，

所以，密度算符是非負算符（nonnegative operator）。

混合態

將先前純態密度算符的定義式加以延伸，假設在一個量子系統處於純態 $| \psi_1 \rangle$ 、$| \psi_2 \rangle$ 、$| \psi_3 \rangle$ 、……的機率分別為 $w_1$ 、$w_2$ 、$w_3$ 、……，則這混合態量子系統的密度算符 $\rho$ 為

${\rho} \ \stackrel{def}{=}\ \sum_i w_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i |$ 。

每一個機率都是非負實值，所有機率的總和為1：

$0\le w_i \le 1$ ，

$\sum_i w_i =1$ 。

回想在純態段落裏，機率公式與期望值公式對於密度算符都具有線性，這意味著對於混合態的密度算符，這些公式也都適用。加以延伸後的密度算符，也具有先前純態的密度算符所擁有的性質：

• 密度算符是自伴算符：$\rho=\rho^{\dagger}$ 。
• 密度算符的跡數為1：$\operatorname{tr}(\rho)=1$ 。
• 對可觀察量 $A$ 做測量得到 $a_i$ 的機率為 $\mathcal{P}(a_i)=\operatorname{tr}(P(a_i)\rho)$ 。
• 可觀察量 $A$ 的期望值為 $\lang A\rang =\operatorname{tr}(A\rho)$ 。
• 密度算符是非負算符：$0\le\lang\phi|\rho|\phi\rang\le 1$ 。

由於密度算符 $\rho$ 是自伴算符，它具有譜表示

$\rho=\sum_i a_i | a_i \rangle \langle a_i |$ ；

其中，$| a_i \rangle$ 是本徵值為 $a_i$ 的本徵態，所有 $| a_i \rangle$ 形成一個規範正交基。

按照自伴算符的定義，每一個本徵值 $a_i$ 是它自己的共軛：

$a_i = a_i ^*$ 。

由於密度算符 $\rho$ 是非負算符，每一個本徵值 $a_i$ 都是非負值。

由於密度算符 $\rho$ 的跡數為1，

$\sum_i a_i =1$ 。

給定一個量子系統，其所有可能的密度算符組成一個凸集。假設 $\rho_i,\quad i=1,2,3,...,n$ 屬於這凸集，則 $\rho=\sum_i c_i\rho_i$ 也屬於這凸集；其中，$0 \le c_i\le 1$ 是係數，$\sum_i c_i=1$ 。

用密度算符辨認純態

由於純態的密度算符定義式為

$\rho \ \stackrel{def}{=}\ | \psi \rangle\langle\psi|$ ，

所以純態的密度算符具有特徵

• $\rho^2=\rho$ 。
• $tr(\rho^2)=tr(\rho)=1$ 。

否則，非純態的密度算符遵守關係式

$tr(\rho^2)<tr(\rho)=1$ 。

另外，將純態的密度矩陣 $\varrho$ 對角化後，只能有一個對角元素等於1，其它對角元素都等於0，其形式為

$\varrho= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{bmatrix}$ 。

量子位元

在量子位元场合，密度矩陣的基本表示公式如下：

• $z_+ = |0 \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\quad z_- = |1 \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\Rightarrow z_+ = |0 \rangle\langle 0| = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ,$
$z_- = |1 \rangle\langle 1| = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

• $x_+ = |x_+ \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} ,\quad x_- = |x_- \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix}$

$\Rightarrow x_+ = |x_+ \rangle\langle x_+| = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} ,$
$x_- = |x_- \rangle\langle x_-| = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & -\frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

• $y_+ = |y_+ \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} ,\quad y_- = |y_- \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix}$

$\Rightarrow y_+ = |y_+ \rangle\langle y_+| = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & -\frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} \\ \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} ,$
$y_- = |y_- \rangle\langle y_-| = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & \frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2} \\ -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$