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密度矩陣

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白熾燈(1)發射出的光子處於完全隨機偏振混合態(2),密度矩陣為
\begin{bmatrix}
 0.5 & 0  \\
 0 & 0.5  \\
\end{bmatrix}

通過垂直平面偏振器(3)之後,光子處於垂直偏振純態(4),密度矩陣為
\begin{bmatrix}
 1 & 0  \\
 0 & 0  \\
\end{bmatrix}

量子力學裏,密度算符(density operator)與其對應的密度矩陣(density matrix)專門描述混合態量子系統的物理性質。純態是一種可以直接用態向量 | \psi\rangle 來描述的量子態,混合態則是由幾種純態依照統計機率組成的量子態。假設一個量子系統處於純態 | \psi_1 \rangle| \psi_2 \rangle| \psi_3 \rangle 、……的機率分別為 w_1w_2w_3 、……,則這混合態量子系統的密度算符 \rho

 {\rho} = \sum_i w_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i |

注意到所有機率的總和為1:

\sum_i w_i =1

假設 \{|b_i\rang,\quad i=1,2,3,\dots,n\} 是一組規範正交基,則對應於密度算符的密度矩陣 \varrho ,其每一個元素 \varrho_{ij}

\varrho_{ij}=\lang b_i|\rho| b_j\rang= \sum_k w_k\lang b_i | \psi_k \rangle \langle \psi_k |b_j\rang

對於這量子系統,可觀察量 A期望值

 \langle A \rangle   = \sum_i w_i \langle \psi_i | {A} | \psi_i \rangle = \sum_i \langle \psi_i | {\rho}{A} | \psi_i \rangle = \operatorname{tr}({\rho}{A})

是可觀察量 A 對於每一個純態的期望值 \langle \psi_i | {A} | \psi_i \rangle 乘以其權值 w_i 後的總和。

混合態量子系統出現的案例包括,處於熱力學平衡化學平衡的系統、製備歷史不確定或隨機變化的系統(因此不知道到底系統處於哪個純態)。假設量子系統處於由幾個糾纏在一起的亞系統所組成的純態,則雖然整個系統處於純態,每一個亞系統仍舊可能處於混合態。在量子退相干理論裏,密度算符是重要理論工具。

密度算符是一種線性算符,是自伴算符非負算符(nonnegative operator)、跡數為1的算符。關於密度算符的數學形式論是由約翰·馮·諾伊曼列夫·郎道各自獨立於1927年給出。[1][2]:48-55[3]

純態與混合態[编辑]

假設一個量子系統的量子態是純態,則這量子態可以用態向量表示為 | \psi \rangle 。幾種純態依照機率組成的量子態稱為混合態。例如,假設一個量子系統處於純態 | \psi_1 \rangle| \psi_2 \rangle 的機率都為50%,則這量子系統處於混合態。密度矩陣專門用來表示混合態。任何量子態,不管是純態,還是混合態,都可以用密度矩陣表示。

混合態與疊加態的概念不同,幾種純態通過量子疊加所組成的疊加態仍舊是純態。例如,(| \psi_1 \rangle + | \psi_2 \rangle)/\sqrt{2} 是個純態。

光子偏振案例[编辑]

平面偏振
平面偏振
圓偏振
圓偏振
橢圓偏振
橢圓偏振
平面偏振(紫色)光波的電場(藍色)可以分解為兩個相互垂直的分量(紅色與綠色)。

光子的兩種圓偏振態,右旋圓偏振態與左旋圓偏振態,分別以態向量 |R\rangle|L\rangle 標記。光子也可能處於疊加態,例如,垂直偏振態與水平偏振態分別為 (|R\rangle+|L\rangle)/\sqrt{2}(|R\rangle-|L\rangle)/\sqrt{2} 。更一般地,光子偏振所處於的疊加態可以表示為 \alpha|R\rangle+\beta|L\rangle ;其中,\alpha\beta 是係數。這一般式可以表示平面偏振態、圓偏振態、橢圓偏振態等等。

假若讓處於疊加態 (|R\rangle+|L\rangle)/\sqrt{2} 的光子通過左旋圓偏振器,則出射的光子處於左旋圓偏振態 |L\rangle ;假若通過右旋圓偏振器,則出射的光子處於右旋圓偏振態 |R\rangle 。對於這兩種圓偏振模,光子強度都會減半,貌似意味著疊加態 (|R\rangle+|L\rangle)/\sqrt{2} 的一半光子處於量子態 |R\rangle ,另一半處於量子態 |L\rangle ,但這種解釋並不正確,處於量子態 |R\rangle|L\rangle 的光子都有可能被垂直平面偏振器吸收,但是處於量子態 (|R\rangle+|L\rangle)/\sqrt{2} 的光子不會被垂直平面偏振器吸收。

白熾燈發射出的光子是一種非偏振態光子,不能用疊加態 \alpha|R\rangle+\beta|L\rangle 來描述。特別而言,與平面偏振態光子不同,它通過任何偏振器後都會失去50%強度,與圓偏振態光子不同,使用波片(waveplate)不能直接將它改變為平面偏振態光子。非偏振態光子可以描述為,處於 | R \rangle 的機率是50%,處於 | L \rangle 的機率是50%。它也可以描述為,處於垂值偏振態的機率是50%,處於水平偏振態的機率是50%。

非偏振態光子的量子態不是純態,而是由幾種純態依照統計機率組成。它可以由50%右旋圓偏振態與50%左旋圓偏振態組成,或者,它可以由50%垂直偏振態與50%水平偏振態組成。這兩種組合無法做實驗辨識區分,因此它們被視為同樣的混合態。密度算符含有混合態的所有資料,足夠計算任何關於混合態的可測量性質。

混合態到底源自何處?試想非偏振態光子是怎樣製成的。一種方法是利用處於動力學平衡的系統,這系統擁有很多個微觀態(microstate),伴隨每一個微觀態都有其發生的機率(波茲曼因子),它們會因熱力學漲落(thermal fluctuation)從一個微觀態變換到另一個微觀態。熱力學隨機性可以解釋白熾燈怎樣發射非偏振光子。另一種方法是引入不確定性於系統的製備程序,例如,將光束通過表面粗糙的雙折射晶體,使得光束的不同部分獲得不同偏振。第三種方法應用EPR機制,有些放射性衰變會發射兩個光子朝著反方向移動離開,這糾纏系統的量子態為 (|R,L\rangle+|L,R\rangle)/\sqrt{2} ,整個系統是處於純態,但是每一個光子亞系統的物理行為如同非偏振態光子,從分析光子亞系統的約化密度算符,可以得到這結論。

一般而言,混合態時常會出現於幾種純態的統計性混合(例如熱力學平衡)、製備程序的不確定性(例如光子可能移動於稍微不同路徑)、包含在糾纏系統內的亞系統(例如EPR機制)。

數學表述[编辑]

純態[编辑]

假設一個量子系統的量子態是純態,則這量子態可以用態向量表示為 | \psi \rangle ,對應的密度算符定義為[4]:309-313

\rho \ \stackrel{def}{=}\ | \psi \rangle\langle\psi|

從密度算符的形式,可以推論密度算符是自伴算符

\rho^{\dagger}=(| \psi \rangle\langle\psi|)^{\dagger}=| \psi \rangle\langle\psi|=\rho

假設,物理量 A 是這量子系統的可觀察量,其本徵值a_i本徵態 |a_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,n 形成一個規範正交基 \{|a_i \rangle\} ,則對可觀察量 A 做測量得到 a_i 的機率 \mathcal{P}(a_i)[5]:96-99

\begin{align}\mathcal{P}(a_i) & \ \stackrel{def}{=}\ |\langle a_i|\psi\rangle|^2 =\langle a_i|\psi\rangle\langle\psi|a_i\rangle \\
 & =\sum_k\langle a_k|a_i\rangle\langle a_i|\psi\rangle\langle\psi|a_k\rangle \\
 & =\sum_k\langle a_k|\Lambda(a_i)\rho|a_k\rangle \\
 & =\operatorname{tr}(\Lambda(a_i)\rho) \\
\end{align}

其中,\Lambda(a_i)\ \stackrel{def}{=}\ |a_i\rangle\langle a_i| 是對應於本徵態 |a_i\rang投影算符[註 1]\operatorname{tr}()跡數

做實驗測量可觀察量 A 獲得的期望值

\begin{align}\langle A\rangle & \ \stackrel{def}{=}\ \sum_i a_i\mathcal{P}(a_i) =\sum_i a_i\langle a_i|\psi\rangle\langle\psi|a_i\rangle \\
 & =\sum_i a_i\langle a_i|\rho|a_i\rangle=\sum_i \langle a_i|A\rho|a_i\rangle=\operatorname{tr}(A\rho) \\
\end{align}

對於不同的規範正交基,跡數是個不變量。採用任何規範正交基,都可以計算出同樣跡數。[註 2]另外,機率公式與期望值公式對於密度算符都具有線性,這是很優良的性質,這意味著機率公式與期望值公式也適用於幾個密度算符的線性組合。

由於 | \psi \rangle 被歸一化, 密度算符的跡數為1:

\begin{align}\operatorname{tr}(\rho) & =\operatorname{tr}(| \psi \rangle\langle\psi|)
=\sum_i \langle a_i| \psi \rangle\langle\psi|a_i\rangle \\
 & =\sum_i \langle\psi|a_i\rangle\langle a_i| \psi \rangle=\langle\psi|\psi \rangle=1\\
\end{align}

對於任意歸一化量子態 \phi

0\le\lang\phi|\rho|\phi\rang=\lang\phi|\psi \rangle\langle\psi|\phi\rang=|\lang\phi|\psi \rangle|^2 \le 1

所以,密度算符是非負算符(nonnegative operator)。

混合態[编辑]

將先前純態密度算符的定義式加以延伸,假設在一個量子系統處於純態 | \psi_1 \rangle| \psi_2 \rangle| \psi_3 \rangle 、……的機率分別為 w_1w_2w_3 、……,則這混合態量子系統的密度算符 \rho[4]:311-313

 {\rho} \ \stackrel{def}{=}\ \sum_i w_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i |

每一個機率都是非負實值,所有機率的總和為1:

0\le w_i \le 1
\sum_i w_i =1

回想在純態段落裏,機率公式與期望值公式對於密度算符都具有線性,這意味著對於混合態的密度算符,這些公式也都適用。加以延伸後的密度算符,也具有先前純態的密度算符所擁有的性質:

  • 密度算符是自伴算符:\rho=\rho^{\dagger}
  • 密度算符的跡數為1:\operatorname{tr}(\rho)=1
  • 對可觀察量 A 做測量得到 a_i 的機率為 \mathcal{P}(a_i)=\operatorname{tr}(\Lambda(a_i)\rho)
  • 做實驗測量可觀察量 A 獲得的期望值\lang  A\rang =\operatorname{tr}(A\rho)
  • 密度算符是非負算符:0\le\lang\phi|\rho|\phi\rang\le 1

由於密度算符 \rho 是自伴算符,它具有譜表示

\rho=\sum_i  a_i  | a_i \rangle \langle a_i |

其中,| a_i \rangle本徵值 a_i 本徵態,所有 | a_i \rangle 形成一個規範正交基

按照自伴算符的定義,每一個本徵值  a_i 是它自己的共軛:

 a_i = a_i ^*

由於密度算符 \rho 是非負算符,每一個本徵值  a_i 都是非負值。

由於密度算符 \rho 的跡數為1,

\sum_i  a_i =1

給定一個量子系統,其所有可能的密度算符組成一個凸集。假設  \rho_i,\quad i=1,2,3,...,n 屬於這凸集,則 \rho=\sum_i c_i\rho_i 也屬於這凸集;其中,0 \le c_i\le 1 是係數,\sum_i c_i=1[2]:51

用密度算符辨認純態[编辑]

由於純態的密度算符定義式為[4]:311-313

\rho \ \stackrel{def}{=}\ | \psi \rangle\langle\psi|

所以純態的密度算符具有特徵

  • \rho^2=\rho
  • tr(\rho^2)=tr(\rho)=1

否則,非純態的密度算符遵守關係式

tr(\rho^2)<tr(\rho)=1

另外,將純態的密度矩陣 \varrho 對角化後,只能有一個對角元素等於1,其它對角元素都等於0,例如,一種形式為[6]:178-183

\varrho=
\begin{bmatrix}
 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
 \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\end{bmatrix}

連續性本徵態基底[编辑]

位置是一種連續性可觀察量,具有連續性本徵值譜,用這種可觀察量的連續性本徵態為基底,密度矩陣 \varrho 含有兩個位置參數 x'x''[6]:186

\varrho(x',x'')=\sum_i w_i\psi_i(x')\psi_i^*(x'')

可觀察量 A 的期望值為

\lang A\rang=\operatorname{tr}(A\rho)=\int \mathrm{d}x' \int \mathrm{d}x'' \lang x'|A|x''\rang\lang x''|\rho|x'\rang

複合系統[编辑]

假設密度算符為  \rho 的複合系統是由兩個亞系統 AB 組成,這兩個亞系統的物理行為分別由其對應約化密度算符(reduced density operator) \rho_A\rho_B 描述:[4]:120-125,128-129

\rho_A=\operatorname{tr}_B\rho
\rho_B=\operatorname{tr}_A\rho

其中,\operatorname{tr}_B\operatorname{tr}_A 分別是對於系統BA偏跡數(partial trace)。

這複合系統的兩個亞系統之間沒有任何關聯(沒有任何量子關聯或經典關聯),若且唯若 \rho\rho_{A}\rho_{B}張量積

\rho=\rho_{A}\otimes\rho_{B}

範例[编辑]

設定斯特恩-革拉赫實驗儀器的磁場方向為z-軸,入射的銀原子束可以被分裂成兩道銀原子束,每一道銀原子束代表一種量子態,上旋|\uparrow\rangle或下旋|\downarrow\rangle

如右圖所示,使用z-軸方向的斯特恩-革拉赫實驗儀器,可以將入射的銀原子束,依照自旋的z-分量 S_z 分裂成兩道,一道的 S_z 為上旋,標記為 |z+\rangle ,另一道的 S_z 為下旋,標記為 |z-\rangle

z-軸方向[编辑]

  • 態向量:|z+\rang = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
密度矩陣:\varrho_{z+} = |z+ \rangle\langle z+| = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
  • 態向量:|z-\rang = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
密度矩陣:\varrho_{z-} = |z- \rangle\langle z-| = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

x-軸方向[编辑]

  • 態向量:|x+ \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix}
密度矩陣:\varrho_{x+}= |x+ \rangle\langle x+| = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}
  • 態向量:|x- \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix}
密度矩陣:\varrho_{x-}= |x- \rangle\langle x-| = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & -\frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}

y-軸方向[编辑]

  • 態向量:|y+ \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix}
密度矩陣:\varrho_{y+}= |y+ \rangle\langle y+| = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & -\frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} \\ \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}
  • 態向量:|y- \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix}
密度矩陣:\varrho_{y-}= |y- \rangle\langle y-| = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} \\ -\frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & \frac{i}{\sqrt2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2} \\ -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}

完全隨機粒子束[编辑]

完全隨機粒子束的量子態不是純態,它可以由50% |z+\rang 純態與50% |z-\rang 純態組成:

\varrho= \frac{1}{2}\varrho_{z+} +  \frac{1}{2}\varrho_{z-} = \frac{1}{2}\left[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\right] 
= \begin{pmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix}

它也可以由50% |x+\rang 純態與50% |x-\rang 純態組成:

\varrho= \frac{1}{2}\varrho_{x+} + \frac{1}{2}\varrho_{x-}= \frac{1}{2}\left[\begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 \end{pmatrix}\right] 
= \begin{pmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix}

另外,它還可以由50% |y+\rang 純態與50% |y-\rang 純態組成,因此可見,不同的組合仍可得到同樣的混合態。

一般而言,完全隨機粒子束的 N\times N 密度矩陣 \varrho ,經過對角化之後,可以寫為[6]:186

\varrho=\frac{1}{N}
\begin{bmatrix}
 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
 \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{bmatrix}

馮諾伊曼方程式[编辑]

薛丁格方程式描述純態怎樣隨著時間流逝而演化,馮諾伊曼方程式描述密度算符怎樣隨著時間流逝而演化。實際而言,這兩種方程式等價,因為它們彼此都可以推導出對方。假設,在時間 t_0 ,量子系統的密度算符為

\rho(t_0) =\sum_i w_i| \psi_i(t_0)  \rangle\langle\psi_i(t_0)|

其中,量子系統在時間 t_0 處於純態 |\psi_i(t_0)\rang 的機率是 w_i

假若不攪擾這量子系統,則機率 w_i 跟時間無關。在時間 t ,純態 |\psi_i(t)\rang 遵守含時薛丁格方程式

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi_i(t)\rang=H|\psi_i(t)\rang

其中,\hbar 是約化普朗克常數,H哈密頓算符

所以,馮諾伊曼方程式表示為[7][8]

\begin{align}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\rho(t) & =\sum_i w_i (H | \psi_i(t) \rangle\langle\psi_i(t)|- | \psi_i(t) \rangle\langle\psi_i(t)|H) \\
 & =-[\rho,H] \\
\end{align}

其中,方括弧代表對易算符

注意到只有當採用薛丁格繪景時(必須採用薛丁格繪景來計算密度算符)這方程式才成立,雖然這方程式看起來很像海森堡繪景海森堡方程式,唯一差別是關鍵的正負號:

 \frac{dA^{(H)}}{dt}=-\ \frac{i}{\hbar}[A^{(H)},H]

其中,A^{(H)} 是某種採用海森堡繪景的算符。

在海森堡繪景裏,密度算符與時間無關,正負號差別確使期望值 \langle A \rangle 對於時間的導數會得到與薛丁格繪景相同的結果。[註 3]

假若哈密頓算符不含時,則可從馮諾伊曼方程式推導出

\rho(t) = e^{-i H t/\hbar} \rho(0) e^{i H t/\hbar}

馮諾伊曼熵[编辑]

對於兩體純態系統,馮諾伊曼熵 \sigma (豎軸)與本徵值  a_i (橫軸)之間的關係曲線。

量子統計力學(quantum statistical mechanics)裏,馮諾伊曼熵(von Neumann entropy)是經典統計力學關於概念的延伸。對於密度矩陣為 \varrho 的混合態,馮諾伊曼熵定義為[9]:301

\sigma  \ \stackrel{def}{=}\  - \mathrm{tr}(\varrho \ln \varrho)

這公式涉及到矩陣對數(logarithm of a matrix),似乎很難計算,[註 4]但密度算符 \rho 是自伴算符,具有譜表示[6]:186-188

\rho=\sum_i  a_i  | a_i \rangle \langle a_i |

其中,| a_i \rangle本徵值 a_i 本徵態,所有 | a_i \rangle 形成一個規範正交基

因此,可以將密度矩陣 \varrho 對角化,將馮諾伊曼熵更簡單地以對角化後的密度矩陣 \varrho 定義為

\sigma = -\sum_i \varrho_{ii} \ln \varrho_{ii}

馮諾伊曼熵 \sigma 又可以寫為

\sigma = -\sum_i a_i \ln a_i

從這形式,可以推論馮諾伊曼熵與經典信息論裏的夏農熵(Shannon entropy)相關。[9]

在這裏,可以視每一個本徵值 a_i 為處於本徵態 | a_i \rangle 的機率。假若某事件的發生機率為零,則這事件不應貢獻出絲毫馮諾伊曼熵。從數學而言,以下極限為零:

 \lim_{a \to 0} a \log a = 0

因此,可以採用約定

0 \log 0  = 0

純態的馮諾伊曼熵為零,因為其密度矩陣對角化之後,只有一個元素為1,其它均為0。即所有對角元素  a_i 必定滿足  a_i =0\ln a_i=0

完全隨機混合態的 N\times N 密度矩陣,其馮諾伊曼熵 \sigma

\sigma = -\sum_i \frac{1}{N}\ln\frac{1}{N}=\ln N

假若,將馮諾伊曼熵視為量子系統失序現象的一種量度,則純態擁有最小的馮諾伊曼熵 0 ,而完全隨機混合態擁有最大的馮諾伊曼熵 \ln N

每一次做投影測量,馮諾伊曼熵都會增加,永遠不會減少,但是,對於廣義測量(generalized measurement),馮諾伊曼熵可能會減少。[10][11]混合態的馮諾伊曼熵永遠不小於零。因此,純態可以通過投影測量改變為混合態,但是,非純態的混合態永遠無法通過投影測量改變為純態。投影測量這動作促成了一種基本不可逆性的對於密度算符的改變,如同波函數塌縮。實際而言,相當反直覺地,投影測量這動作抹除了複合系統的量子相干性。更詳盡內容,請參閱條目量子退相干

一個量子系統的亞系統可以從混合態改變為純態,但是所附出的代價是其它部分的馮諾伊曼熵會增加,就好似將一個物體放進冰箱來降低其,冰箱熱交換器外的空氣會變暖,而所增加的熵會比物體所減少的熵更多。更詳盡內容,請參閱條目熱力學第二定律

參閱[编辑]

註釋[编辑]

  1. ^ 對於本徵態 |a_i\rang 的投影算符 \Lambda(a_i) ,假若作用於量子態 |\psi\rangle ,則會得到 |a_i\rang 與對應機率幅的乘積:
    \Lambda(a_i)|\psi\rangle=|a_i\rangle\langle a_i|\psi\rangle=c_i|a_i\rangle
    其中,c_i 是在本徵態 |a_i\rang 裏找到 |\psi\rangle機率幅
  2. ^ 給定兩個規範正交基 \{|a_i \rangle\}, \{|b_i \rangle\} ,對於任意算符 W
    \operatorname{tr}(W)=\sum_i \lang a_i|W|a_i\rang=\sum_{i,j} \lang a_i|b_j\rang \lang b_j|W|a_i\rang=\sum_{i,j}  \lang b_j|W|a_i\rang\lang a_i|b_j\rang=\sum_{j}  \lang b_j|W|b_j\rang
    因此,對於不同的規範正交基,跡數是個不變量。
  3. ^ 在薛丁格繪景裏,純態隨著時間而演化的形式為
    |\psi_i(t)\rang=e^{-iH(t-t_0)}|\psi_i(t_0)\rang
    因此,密度算符與時間無關:
    \begin{align}\rho(t) & =\sum_i w_i| \psi_i(t)  \rangle\langle\psi_i(t)|  \\
 & =\sum_i w_i \left(| \psi_i(t_0)  \rangle  e^{iH(t-t_0)}e^{-iH(t-t_0)} \langle\psi_i(t_0)| \right) \\
 & =\sum_i w_i \left(| \psi_i(t_0)  \rangle   \langle\psi_i(t_0)| \right) \\
\end{align}
    採用薛丁格繪景來計算密度算符這動作很合理,因為密度算符是由薛丁格左矢與薛丁格右矢共同組成,而這兩個向量都是隨著時間流逝而演進。
  4. ^ 矩陣對數(logarithm of a matrix)也是矩陣;後者的矩陣指數等於前者。這是純對數的推廣。這運算是矩陣指數的反函數。並不是所有矩陣都有對數,有些矩陣有很多個對數。

參考文獻[编辑]

  1. ^ von Neumann, John, Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik, Göttinger Nachrichten, 1927, 1: 245–272 
  2. ^ 2.0 2.1 Ballentine, Leslie. Quantum Mechanics: A Modern Development 2nd, illustrated, reprint. World Scientific. 1998. ISBN 9789810241056. 
  3. ^ Fano, Ugo, Description of States in Quantum Mechanics by Density Matrix and Operator Techniques, Reviews of Modern Physics, 1957, 29: 74–93, Bibcode:1957RvMP...29...74F, doi:10.1103/RevModPhys.29.74. 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 Laloe, Franck, Do We Really Understand Quantum Mechanics, Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-1-107-02501-1 
  5. ^ Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914 
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