密度矩陣重整化群

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密度矩陣重整化群 (Density Matrix Renormalization Group),簡稱DMRG,是一種數值演算法,於西元1992年由美國物理學家史提芬·懷特提出[1]。 密度矩陣重整化群是用來計算量子多體系統(例如:Hubbard modelt-J模型海森堡模型,等等)的一個非常精準的數值演算法,在一維或準一維的系統可以得到系統尺寸很大且很準確的計算結果,但是在二維的量子多體系統中卻很難達到所需要的精確度。目前此演算法仍無法計算三維的量子系統。

DMRG 的起源[编辑]

從數值計算的角度來看,量子多體物理主要的困難之處就在於系統的希爾伯特空間維度隨著系統的尺寸呈指數成長,例如,一個由N自旋1/2的粒子所組成的一維晶格系統其希爾伯特空間維度大小為 2^N。 傳統的解決方法有兩種:

  1. 基於Lanczos算法精確對角化法,只求出系統的低能狀態。這種方法只能處理很小的系統。
  2. 基於數值重整化群(Numerical Renormalization Group,簡稱NRG)的重整化方法,可以計算很大的系統。重整化的一般思想是:減少系統的自由度,並在這個縮減的空間中,通過特定的重整化技巧,在迭代過程中保持系統的自由度數不變,並使約化系統最終收斂到真正系統的低能態中。然而,NRG一般只適用在雜質系統中,當演算一般的格點系統,如赫巴德模型(Hubbard model)時,往往出現很大的誤差。

史提芬·懷特最先意識到,NRG在演算Hubbard模型中的失敗,是由於在NRG的迭代過程中忽略了環境對系統的影響。換句話說,NRG的重整化方法——只保留低能量本征態——並不能正確得出下一次迭代時的低能狀態。
DMRG的重整化方法不同於NRG。DMRG在重整化前,把整個系統視為兩個部分,一部份為系統,一部份為環境,而系統環境的整體稱為超塊。接著,計算超塊的基態,有了基態之後便計算約化密度矩陣,然後對角化這個約化密度矩陣,選出擁有較大的本征值的本征態。這些擁有較大的本征值的本征態正是基態性質最重要的態,然後根據此標準對系統部份做重整化。

實行DMRG的技巧[编辑]

實際實行DMRG是一個很冗長的工作,一些主要常用的計算手段如下:

如缺少上述的一些計算手段,DMRG可能難以完成對實際物理模型的演算。

應用[编辑]

DMRG 已經成功的在許多不同的一維模型上計算低能態的一些性質,如易辛模型,海森保模型等自旋模型,費米子系統如 Hubbard 模型 ,雜質系統如近藤效應玻色子系統,混合玻色子費米子的系統。隨著現代電腦硬體技術的進步,DMRG應用在二維系統上可行性愈來愈高,目前一般的作法是將二維系統視為一個多腿的梯子,再將梯子的長度拉長。2011年發表在《Science》封面的一篇文章中[4],利用 DMRG 探討二維Kagome晶格中的自旋-1/2系統的基態。由這篇文章來看, DMRG 可能仍是對付二維系統最強大的武器。

矩陣積態(Matrix Product State)[编辑]

DMRG之所以在一維系統中如此成功,背後的理論可以用矩陣積態來加以解釋。有限尺度的DMRG中,掃蕩的過程等同於將此系統的波函數寫在矩陣積態空間做變分法。以自旋-1/2的系統為例,矩陣積態如以下形式:

|\Phi\rangle = \sum_{\sigma_1\cdots \sigma_N} (A_1^{[\sigma_1]} A_2^{[\sigma_2]} \cdots A_n^{[\sigma_n]} \cdots A_{N-1}^{[\sigma_{N-1}]} A_N^{[\sigma_N]} ) | \sigma_1 \sigma_2 \cdots \sigma_N\rangle

其中\sigma_1 \sigma_2 \cdots \sigma_N表示每一個格點上自旋z方向的分量,A_i^{[\sigma_i]}表示第i格點、自旋z方向的分量為\sigma_i的矩陣。A_1^{[\sigma_1]}矩陣大小是1×d、A_2^{[\sigma_2]}矩陣大小是d×d2A_3^{[\sigma_3]}矩陣大小是d2×d3、……直到第n格點時,dn≥m,A_n^{[\sigma_n]}矩陣大小是dn-1×m、A_{n+1}^{[\sigma_{n+1}]}矩陣大小是m×m、……,A_{N-1}^{[\sigma_{N-1}]}矩陣大小是d2×d、A_{N}^{[\sigma_{N}]}矩陣大小是d×1。當m趨近無窮大時,所有的波函數皆可寫成矩陣積態的形式。[5]

DMRG 的擴充[编辑]

DMRG的巨大成功帶給人們許多衝擊與啟示,可惜的是由於波函數被表示成矩陣積態(Matrix Product State),造成DMRG在處理二維量子晶格系統時特別困難,更別說是三維的量子系統。繼承DMRG的知識和技術,許多物理學家著手發展適合研究二維甚至三維系統中的數值方法,例如:TEBD(Time-evolving block decimation)、PEPS(Projected Entangled Pair States)、MERA(multi-scale entanglement renormalization ansatz),等等。另一方面,也有許多物理學家在原有的DMRG方法上加以改良,讓科學家可以處理更多有趣的一維量子晶格系統的問題,例如:時間演化、有限溫度,等等。

其他[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Steven. R. White, Density matrix formulation for quantum renormalization groups, 出自《Physical Review Letters》1992年,第69卷:2863-2866頁。
  2. ^ Steven. R. White, Spin Gaps in a Frustrated Heisenberg Model for CaV4O9, 出自《Physical Review Letters》1996年,第77卷:3633-3636頁。
  3. ^ U. Schollwöck, The density-matrix renormalization group, 出自《Reviews of Modern Physics》2005年,第77卷:259-315頁。
  4. ^ Simeng Yan, David A. Huse, and Steven R. White, Spin-Liquid Ground State of the S = 1/2 Kagome Heisenberg Antiferromagnet, 出自《Science》2011年,第332卷:1173。
  5. ^ Stefan Rommer 與 Stellan Östlund, 出自《Physical Review B》1997年,第55卷:第2164頁。