密着拓扑

在拓扑学中，带有密着拓扑(trivial topology)的拓扑空间是其中仅有的开集是空集和整个空间的空间。这种空间有时叫做不可分空间(indiscrete space)，它的拓扑有时叫做不可分拓扑。在直觉上，这有着所有点都被“粘着在一起”而通过拓扑方式不可区分的推论。

定义

密着拓扑是有最小可能数的开集的拓扑，因为拓扑的定义只要求两个集合是开集。尽管它的简单性，带有多于一个元素和密着拓扑的空间 X 缺乏关键的想要的性质: 它不是T₀ 空间。

性质

不可分空间 X 的其他性质包括:

• 唯一的闭集是空集和 X。
• X 的唯一可能的基是 {X}。
• 如果 X 有多于一个点，则由于它不是 T₀，它不满足任何更高的T 公理。特别是，它不是豪斯多夫空间。不是豪斯多夫的，X 就不是序拓扑，也不是可度量的。
• 但是 X 是正则空间、完全正则空间、正规空间和完全正规空间；尽管是在非常空洞意义上，因为仅有的闭集是 ∅ 和 X。
• X 是紧致空间因此是仿紧致空间、林德勒夫空间和局部紧致空间。
• 所有定义域是拓扑空间而陪域是 X 的函数都是连续函数。
• X 是道路连通并因此是连通空间。
• X 是第一可数空间、第二可数空间和可分离空间。
• 所有 X 的子空间都有密着拓扑。
• 所有 X 的商空间都有密着拓扑。
• 密着拓扑空间的任意乘积，带有要么乘积拓扑要么盒拓扑，都有密着拓扑。
• 所有 X 中的序列都收敛于 X 的所有点。特别是，所有序列都有收敛子序列(整个序列)，因此是 X 是序列紧致。
• 所有集合除了 X 的内部都是空集。
• 所有 X 的非空子集的闭包都是 X。在另一种方式下: 所有 X 的非空子集都是稠密的，这个性质刻画了密着拓扑空间。
• 如果 S 是任何带有多于一个元素的 X 的子集，则所有 X 的元素都是 S 的极限点。如果 S 是单元素集合，则所有 X \ S 的点仍是 S 的极限点。
• X 是Baire空间。
• 两个承载密着拓扑的拓扑空间是同胚的，当且仅当它们有相同的势。

在某种意义上，密着拓扑的对立者是离散拓扑，它的所有子集都是开集。

密着拓扑属于伪度量空间，在其中任何两点之间的距离是 0，并属于一致空间，在其中全体笛卡尔乘积是 X × X 是仅有的周围。

设 Top 是带有连续映射的拓扑空间范畴，和 Set 是带有函数的集合范畴。如果 F : Top → Set 是指派每个拓扑空间到它的底层集合的函子(所谓的遗忘函子)，并且 G : Set → Top 是把密着拓扑放置到给定集合上的函子，则 G 右伴随于 F。(把离散拓扑放置到给定集合上的函子 H : Set → Top 左伴随于 F。)

引用

• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, (1978) Dover Publications, ISBN 0-486-68735-X. (See example 4)