富比尼–施图迪度量

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在数学中,富比尼–施图迪度量Fubini–Study metric)是射影希尔伯特空间上一个凯勒度量。所谓射影希尔伯特空间即赋予了埃尔米特形式复射影空间 CPn。这个度量最先由圭多·富比尼爱德华·施图迪在1904年与1905年描述。

向量空间 Cn+1 上一个埃尔米特形式定义了 GL(n+1,C) 中一个子群 U(n+1)。一个富比尼–施图迪度量在差一个位似(整体缩放)的意义下由这样一个 U(n+1) 作用下的不变性决定;从而是齐性的。赋予这样一个富比尼–施图迪度量后,CPn 是一个对称空间。度量的特定正规化与(2n+1)-球面上的标准度量有关。在代数几何中,利用一个正规化使 CPn 成为一个霍奇流形

构造[编辑]

富比尼–施图迪度量自然出现于复射影空间商空间构造。

具体地,可以定义 CPnCn+1 中复直线组成的空间,即 Cn+1 在将一点与其所有复数倍联系在一起的等价关系下的商。这与在乘法群 C* = C \ {0} 的对角群作用下的商相同:

\mathbf{CP}^n = \{ \mathbf{Z} = [Z_0,Z_1,\ldots,Z_n] \in {\mathbf C}^{n+1} \} / \{ \mathbf{Z} \sim c\mathbf{Z}, c \in \mathbf{C}^* \}.

这个商将 Cn+1 实现为底空间 CPn 上的复线丛(事实上这就是 CPn 上所谓的重言丛)。CPn 中的一点等同于 (n+1)-元组 [Z0,...,Zn] 模去非零复缩放的一个等价类;这些 Zi 称为这个点的齐次坐标

进一步,我们可以分两步实现这个商:因为乘以一个非零复数 z = Re 可以惟一地想成一个以模长 R 为因子的缩放与沿着原点一个逆时针旋转角度 \theta 的复合,商 Cn+1CPn 分成两块。

\mathbf{C}^{n+1} \stackrel{(a)}\longrightarrow S^{2n+1} \stackrel{(b)}\longrightarrow \mathbf{CP}^n

其中第 (a) 步以正实数乘法群 R+ 的缩放 Z ~ RZ,这里 RR+,作商;步骤 (b) 是关于旋转 Z ~ eZ 的商。

第 (a) 步所得的商是由方程 |Z|2 = |Z0|2 + ... + |Zn|2 = 1 所定义的实超球面 S2n+1。第 (b) 步的商实现为 CPn = S2n+1/S1,这里 S1 表示旋转群。这个商由著名的霍普夫纤维化S1 → S2n+1 → CPn实现 ,纤维属于 S^{2n+1} 中的大圆

作为度量商[编辑]

当取一个黎曼流形(或一般的度量空间)的商时,必须小心确认商空间赋有一个良定义的度量。例如,如果群 G 作用在黎曼流形 (X,g)上,则为了是轨道空间 X/G 拥有一个诱导度量,g 沿着 G-轨道必须是常值,这便是说对任何元素 hG 以及一对向量场 X,Y 必须有 g(Xh,Yh) = g(X,Y)。

'Cn+1 上标准埃尔米特度量在标准基下为

ds^2 = d\mathbf{Z} \otimes d\overline{\mathbf{Z}} = dZ_0 \otimes d\overline{Z_0} + \cdots + dZ_n \otimes d\overline{Z_n}.\,

它的实化是 R2n 上标准欧几里得度量。这个度量在 C* 的作用下没有不变性,所以我们不能直接将其推下到商空间 CPn 中。但是,这个度量在旋转群 S1 = U(1) 的对角作用下是不变的。从而,上面构造中的步骤 (b) 是可能的只要完成步骤 (a)。

富比尼–施图迪度量是在商CPn = S2n+1/S1 上诱导的度量, 其中 S^{2n+1} 带着所谓的“圆度量”,是标准欧几里得度量在单位超球面上的限制。

在局部仿射坐标中[编辑]

对应于 CPn 中具有齐次坐标(Z0,...,Zn) 的一点,只要 Z0 ≠ 0,存在惟一 n 个坐标集合 (z1,…,zn) 使得

[Z_0,\dots,Z_n] \sim [1,z_1,\dots,z_n],

特别地 zj = Zj/Z0。这个 (z1,…,zn) 组成 CPn 在坐标片 U0 = {Z0 ≠0 } 上的一个仿射坐标系。在任意坐标片 Ui={Zi≠0} 上通过除以 Zi,得到一个仿射坐标系。这 n+1 个坐标片 Ui 盖住了 CPn,在 Ui 上可以利用仿射坐标系 (z1,…,zn) 给出度量的具体表达式。坐标导数定义了 CPn 全纯切丛的一个标架 \{\partial_1,\ldots,\partial_n\},利用它们富比尼–施图迪度量具有埃尔米特分量

h_{ij} = h(\partial_i,\partial_j) = \frac{(1+|\mathbf{z}|^2)\delta_{ij} - \bar{z}_i z_j}{(1+|\mathbf{z}|^2)^2}.

这里|z|2 = z12+...+zn2。这样,富比尼–施图迪度量在这个标架下的埃尔米特矩阵

 \bigl(h_{ij}\bigr) = \frac{1}{(1+|\mathbf{z}|^2)^2} \left[\begin{array}{cccc} 1+|\mathbf{z}|^2 - |z_1|^2 & -\bar{z}_1 z_2 & \cdots & -\bar{z}_1 z_n \\ -\bar{z}_2 z_1 & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_2|^2 & \cdots & -\bar{z}_2 z_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -\bar{z}_n z_1 & -\bar{z}_n z_2 & \cdots & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_n|^2 \end{array} \right]

注意每个矩阵元素是酉不变的:对角作用 \mathbf{z} \mapsto e^{i\theta}\mathbf{z} 不会改变这个矩阵。

对应地,线元素

\begin{align}
ds^2 &= \frac{(1+|\mathbf{z}|^2)|d\mathbf{z}|^2 - (\bar{\mathbf{z}}\cdot d\mathbf{z})(\mathbf{z}\cdot d\bar{\mathbf{z}})}{(1+|\mathbf{z}|^2)^2}\\
&= \frac{(1+z_i\bar{z}^i)dz_jd\bar{z}^j - \bar{z}^j z_idz_jd\bar{z}^i}{(1+z_i\bar{z}^i)^2}.
\end{align}

在最后的表达式中,使用了爱因斯坦求和约定,拉丁字母指标 ij 从 1 求到 n

在齐次坐标中[编辑]

在齐次坐标 Z = [Z0,...,Zn] 中也有相应的表达式。形式上,我们有

\begin{align}
ds^2 &= \frac{|\mathbf{Z}|^2|d\mathbf{Z}|^2 - (\bar{\mathbf{Z}}\cdot d\mathbf{Z})(\mathbf{Z}\cdot d\bar{\mathbf{Z}})}{|\mathbf{Z}|^4}\\
&=\frac{Z_\alpha\bar{Z}^\alpha dZ_\beta d\bar{Z}^\beta - \bar{Z}^\alpha Z_\alpha dZ_\beta d\bar{Z}^\beta}{(Z_\alpha\bar{Z}^\alpha)^2}\\
&=2 \frac {Z_{[\alpha}dZ_{\beta]} \overline{Z}^{[\alpha}\overline{dZ}^{\beta]}}
{\left( Z_\alpha \overline{Z}^\alpha \right)^2}.
\end{align}

上面所涉及表达式需合适地理解。上面使用了求和约定,希腊字母指标从 0 求到 n,最后一个等式使用了一个张量的反对称部分的标准记号:

Z_{[\alpha}W_{\beta]} = \frac {1}{2} \left( 
Z_{\alpha} W_{\beta} - Z_{\beta} W_{\alpha} \right).

现在,ds2 的这个表达式显然在重言丛 Cn+1\{0} 的全空间上定义了一个张量。通过沿着 CPn 上重言丛的一个全纯截面 σ 拉回为 CPn 上一个张量。还需验证拉回值与界面的选取无关:这可以直接计算。

差一个整体正规化常数,这个度量的凯勒形式为

\omega = i\partial\overline{\partial}\log |\mathbf{Z}|^2.

其拉回显然与全纯界面的选取无关。量 log|Z|2CPn 的凯勒数量。

n = 1 情形[编辑]

n = 1,有由球极投影给出的微分同胚 S^2\cong \mathbb{CP}^1。这导致了特殊的霍普夫纤维化 S1S3S2。当在 CP1 中的坐标系写出富比尼–施图迪度量,它在实切丛上的限制得出 S2 上半径 1/2 的通常圆度量。

具体地,如果 z = x + iy黎曼球面 CP1 上标准仿射坐标卡,且x=rcosθ, y = rsinθ 是 C 上的极坐标,则一个简单的计算表明

ds^2= \frac{dz \; d\overline{z}}{\left(1+|z|^2\right)^2}
= \frac{dx^2+dy^2}{ \left(1+r^2\right)^2 }
= \frac{1}{4}(d\phi^2 + \sin^2 \phi \,d\theta^2)
= \frac{1}{4} ds^2_{us}

这里 ds^2_{us} 是单位 2-球面上的圆度量。其中 φ, θ 是由球极投影 r tan(φ/2) = 1, tanθ = y/x 给出的 S2 “数学家的”球坐标(许多物理学家偏向于将 φ 和 θ互换)。

曲率性质[编辑]

n = 1 的特例,富比尼–施图迪度量具有恒等于 4 的数量曲率,因为它与 2-球面的圆度量等价(半径 R 球面的数量曲率是 1/R^2)。但是,对 n > 1,富比尼–施图迪度量没有常曲率。其截面曲率由下列方程给出[1]

K(\sigma) = 1 + 3\langle JX,Y \rangle^2

这里 \{X,Y\} \in T_p \mathbf{CP}^n 是 2-维平面 σ 的一个标准正交基J : TCPn → TCPnCPn 上的复结构,而 \langle \cdot , \cdot \rangle 是富比尼–施图迪度量。

这个公式的一个推论是任何 2-维平面 \sigma 的截面曲率满足 1 \leq K(\sigma) \leq 4。最大的截面曲率 (4) 在一个全纯 2-维平面得到——对这样的平面有 J(σ) ⊂ σ ——而最小截面曲率 (1) 在 J(σ) 垂直于 σ 的2-维平面 σ 得到。因此,富比尼–施图迪度量经常称为有等于 4 的常全纯截面曲率。

这使 CPn 成为一个(非严格的)四分之一拼挤流形quarter pinched manifold);一个著名的定理指出严格四分之一拼挤单连通 n-流形一定同胚于球面。

富比尼–施图迪度量也是一个爱因斯坦度量,它与里奇张量成比例:存在一个常数 λ 使得对所有 i,j 我们有

Ric_{ij} = \lambda g_{ij}.

除此以外,这蕴含着,在差一个数量相乘的意义下,富比尼–施图迪度量在里奇流下不变。这也使 CPn广义相对论不可分离,它是真空爱因斯坦方程的一个非平凡解。

量子力学[编辑]

富比尼–施图迪度量可以用量子力学中广泛使用的狄拉克符号,或代数几何中的射影簇记号来定义。为了将两种语言清楚地等同起来,令

\vert \psi \rangle = \sum_{k=0}^n Z_k \vert e_k \rangle = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n]

这里 \{\vert e_k \rangle\}希尔伯特空间的一个正交规范基向量集合,Z_k 是复数,而 Z_\alpha = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n] 是射影空间 \mathbb{C}P^n 中一点在齐次坐标中的标准记号。那么,给定空间中两点 \vert \psi \rangle = Z_\alpha\vert \phi \rangle = W_\alpha,它们之间的距离是

\gamma (\psi, \phi) = \arccos 
\sqrt \frac {\langle \psi \vert \phi \rangle \;
 \langle \phi \vert \psi \rangle }
{\langle \psi \vert \psi \rangle \;
\langle \phi \vert \phi \rangle}

或等价地,在射影簇记号中,

\gamma (\psi, \phi) =\gamma (Z,W) =  
\arccos \sqrt {\frac 
{Z_\alpha \overline{W}^\alpha \; W_\beta \overline{Z}^\beta}
{Z_\alpha \overline{Z}^\alpha \; W_\beta \overline{W}^\beta}}.

这里 \overline{Z}^\alphaZ_\alpha复共轭。分母中出现的 \langle \psi \vert \psi \rangle 提醒了 \vert \psi \rangle 以及类似的 \vert \phi \rangle 不是单位长规范化的;故这里明确地做了一个规范化。在希尔伯特空间中,此度量可相当平凡地理解为两个向量之间的角度;故它又称为量子角quantum angle)。这个角度是实值的,取值于零到 \pi/2

通过取 \phi =  \psi+\delta\psi,或等价地 W_\alpha = Z_\alpha + dZ_\alpha,马上可以等到这个度量的无穷小形式

ds^2 = \frac{\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle}
{\langle \psi \vert \psi \rangle} - 
\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \; 
\langle \psi \vert \delta \psi \rangle}
{{\langle \psi \vert \psi \rangle}^2}.

量子力学中,CP1 叫做布洛赫球面;富比尼–施图迪度量是量子力学几何化的自然度量。量子力学的许多独特的行为,包括量子纠缠贝里相位Berry phase)效应,可以归于富比尼–施图迪度量的特性。

乘积度量[编辑]

通常的可分性概念适用于富比尼–施图迪度量。更准确地讲,此度量在射影空间的自然乘积塞格雷嵌入Segre embedding)中是可分的。这是说如果 \vert\psi\rangle 是一个可分态,从而可以写成 \vert\psi\rangle=\vert\psi_A\rangle\otimes\vert\psi_B\rangle,则度量是子空间上度量之和:

ds^2 = {ds_A}^2+{ds_B}^2

这里 {ds_A}^2{ds_B}^2 是在子空间 AB 上各自的度量。

相关条目[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Sakai, T. Riemannian Geometry, Translations of Mathematical Monographs No. 149 (1995), American Mathematics Society.