富比尼–施图迪度量

在数学中，富比尼–施图迪度量（Fubini–Study metric）是射影希尔伯特空间上一个凯勒度量。所谓射影希尔伯特空间即赋予了埃尔米特形式的复射影空间 CPⁿ。这个度量最先由圭多·富比尼与爱德华·施图迪在1904年与1905年描述。

向量空间 Cⁿ⁺¹ 上一个埃尔米特形式定义了 GL(n+1,C) 中一个酉子群 U(n+1)。一个富比尼–施图迪度量在差一个位似（整体缩放）的意义下由这样一个 U(n+1) 作用下的不变性决定；从而是齐性的。赋予这样一个富比尼–施图迪度量后，CPⁿ 是一个对称空间。度量的特定正规化与(2n+1)-球面上的标准度量有关。在代数几何中，利用一个正规化使 CPⁿ 成为一个霍奇流形。

构造

富比尼–施图迪度量自然出现于复射影空间的商空间构造。

具体地，可以定义 CPⁿ 由 Cⁿ⁺¹ 中复直线组成的空间，即 Cⁿ⁺¹ 在将一点与其所有复数倍联系在一起的等价关系下的商。这与在乘法群 C^* = C \ {0} 的对角群作用下的商相同：

$\mathbf{CP}^n = \{ \mathbf{Z} = [Z_0,Z_1,\ldots,Z_n] \in {\mathbf C}^{n+1} \} / \{ \mathbf{Z} \sim c\mathbf{Z}, c \in \mathbf{C}^* \}.$

这个商将 Cⁿ⁺¹ 实现为底空间 CPⁿ 上的复线丛（事实上这就是 CPⁿ 上所谓的重言丛）。CPⁿ 中的一点等同于 (n+1)-元组 [Z₀,...,Z_n] 模去非零复缩放的一个等价类；这些 Z_i 称为这个点的齐次坐标。

进一步，我们可以分两步实现这个商：因为乘以一个非零复数 z = R e^iθ 可以惟一地想成一个以模长 R 为因子的缩放与沿着原点一个逆时针旋转角度 $\theta$ 的复合，商 Cⁿ⁺¹→CPⁿ 分成两块。

$\mathbf{C}^{n+1} \stackrel{(a)}\longrightarrow S^{2n+1} \stackrel{(b)}\longrightarrow \mathbf{CP}^n$

其中第 (a) 步以正实数乘法群 R⁺ 的缩放 Z ~ RZ，这里 R ∈R⁺，作商；步骤 (b) 是关于旋转 Z ~ e^iθZ 的商。

第 (a) 步所得的商是由方程 |Z|² = |Z₀|² + ... + |Z_n|² = 1 所定义的实超球面 S²ⁿ⁺¹。第 (b) 步的商实现为 CPⁿ = S²ⁿ⁺¹/S¹，这里 S¹ 表示旋转群。这个商由著名的霍普夫纤维化S¹ → S²ⁿ⁺¹ → CPⁿ实现 ，纤维属于 $S^{2n+1}$ 中的大圆。

作为度量商

当取一个黎曼流形（或一般的度量空间）的商时，必须小心确认商空间赋有一个良定义的度量。例如，如果群 G 作用在黎曼流形 (X,g)上，则为了是轨道空间 X/G 拥有一个诱导度量，$g$ 沿着 G-轨道必须是常值，这便是说对任何元素 h ∈ G 以及一对向量场 $X,Y$ 必须有 g(Xh,Yh) = g(X,Y)。

'Cⁿ⁺¹ 上标准埃尔米特度量在标准基下为

$ds^2 = d\mathbf{Z} \otimes d\overline{\mathbf{Z}} = dZ_0 \otimes d\overline{Z_0} + \cdots + dZ_n \otimes d\overline{Z_n}.\,$

它的实化是 R²ⁿ 上标准欧几里得度量。这个度量在 C^* 的作用下没有不变性，所以我们不能直接将其推下到商空间 CPⁿ 中。但是，这个度量在旋转群 S¹ = U(1) 的对角作用下是不变的。从而，上面构造中的步骤 (b) 是可能的只要完成步骤 (a)。

富比尼–施图迪度量是在商CPⁿ = S²ⁿ⁺¹/S¹ 上诱导的度量, 其中 $S^{2n+1}$ 带着所谓的“圆度量”，是标准欧几里得度量在单位超球面上的限制。

在局部仿射坐标中

对应于 CPⁿ 中具有齐次坐标(Z₀,...,Z_n) 的一点，只要 Z₀ ≠ 0，存在惟一 n 个坐标集合 (z₁,…,z_n) 使得

$[Z_0,\dots,Z_n] \sim [1,z_1,\dots,z_n],$

特别地 z_j = Z_j/Z₀。这个 (z₁,…,z_n) 组成 CPⁿ 在坐标片 U₀ = {Z₀ ≠0 } 上的一个仿射坐标系。在任意坐标片 U_i={Z_i≠0} 上通过除以 Z_i，得到一个仿射坐标系。这 n+1 个坐标片 U_i 盖住了 CPⁿ，在 U_i 上可以利用仿射坐标系 (z₁,…,z_n) 给出度量的具体表达式。坐标导数定义了 CPⁿ 全纯切丛的一个标架 $\{\partial_1,\ldots,\partial_n\}$，利用它们富比尼–施图迪度量具有埃尔米特分量

$h_{ij} = h(\partial_i,\partial_j) = \frac{(1+|\mathbf{z}|^2)\delta_{ij} - \bar{z}_i z_j}{(1+|\mathbf{z}|^2)^2}.$

这里|z|² = z₁²+...+z_n²。这样，富比尼–施图迪度量在这个标架下的埃尔米特矩阵是

$\bigl(h_{ij}\bigr) = \frac{1}{(1+|\mathbf{z}|^2)^2} \left[\begin{array}{cccc} 1+|\mathbf{z}|^2 - |z_1|^2 & -\bar{z}_1 z_2 & \cdots & -\bar{z}_1 z_n \\ -\bar{z}_2 z_1 & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_2|^2 & \cdots & -\bar{z}_2 z_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -\bar{z}_n z_1 & -\bar{z}_n z_2 & \cdots & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_n|^2 \end{array} \right]$

注意每个矩阵元素是酉不变的：对角作用 $\mathbf{z} \mapsto e^{i\theta}\mathbf{z}$ 不会改变这个矩阵。

对应地，线元素为

$\begin{align} ds^2 &= \frac{(1+|\mathbf{z}|^2)|d\mathbf{z}|^2 - (\bar{\mathbf{z}}\cdot d\mathbf{z})(\mathbf{z}\cdot d\bar{\mathbf{z}})}{(1+|\mathbf{z}|^2)^2}\\ &= \frac{(1+z_i\bar{z}^i)dz_jd\bar{z}^j - \bar{z}^j z_idz_jd\bar{z}^i}{(1+z_i\bar{z}^i)^2}. \end{align}$

在最后的表达式中，使用了爱因斯坦求和约定，拉丁字母指标 i 和 j 从 1 求到 n。

在齐次坐标中

在齐次坐标 Z = [Z₀,...,Z_n] 中也有相应的表达式。形式上，我们有

$\begin{align} ds^2 &= \frac{|\mathbf{Z}|^2|d\mathbf{Z}|^2 - (\bar{\mathbf{Z}}\cdot d\mathbf{Z})(\mathbf{Z}\cdot d\bar{\mathbf{Z}})}{|\mathbf{Z}|^4}\\ &=\frac{Z_\alpha\bar{Z}^\alpha dZ_\beta d\bar{Z}^\beta - \bar{Z}^\alpha Z_\alpha dZ_\beta d\bar{Z}^\beta}{(Z_\alpha\bar{Z}^\alpha)^2}\\ &=2 \frac {Z_{[\alpha}dZ_{\beta]} \overline{Z}^{[\alpha}\overline{dZ}^{\beta]}} {\left( Z_\alpha \overline{Z}^\alpha \right)^2}. \end{align}$

上面所涉及表达式需合适地理解。上面使用了求和约定，希腊字母指标从 0 求到 n，最后一个等式使用了一个张量的反对称部分的标准记号：

$Z_{[\alpha}W_{\beta]} = \frac {1}{2} \left( Z_{\alpha} W_{\beta} - Z_{\beta} W_{\alpha} \right).$

现在，ds² 的这个表达式显然在重言丛 Cⁿ⁺¹\{0} 的全空间上定义了一个张量。通过沿着 CPⁿ 上重言丛的一个全纯截面 σ 拉回为 CPⁿ 上一个张量。还需验证拉回值与界面的选取无关：这可以直接计算。

差一个整体正规化常数，这个度量的凯勒形式为

$\omega = i\partial\overline{\partial}\log |\mathbf{Z}|^2.$

其拉回显然与全纯界面的选取无关。量 log|Z|² 是 CPⁿ 的凯勒数量。

n = 1 情形

当 n = 1，有由球极投影给出的微分同胚 $S^2\cong \mathbb{CP}^1$。这导致了特殊的霍普夫纤维化 S¹→S³→S²。当在 CP¹ 中的坐标系写出富比尼–施图迪度量，它在实切丛上的限制得出 S² 上半径 1/2 的通常圆度量。

具体地，如果 z = x + iy 是黎曼球面 CP¹ 上标准仿射坐标卡，且x=rcosθ, y = rsinθ 是 C 上的极坐标，则一个简单的计算表明

$ds^2= \frac{dz \; d\overline{z}}{\left(1+|z|^2\right)^2} = \frac{dx^2+dy^2}{ \left(1+r^2\right)^2 } = \frac{1}{4}(d\phi^2 + \sin^2 \phi \,d\theta^2) = \frac{1}{4} ds^2_{us}$

这里 $ds^2_{us}$ 是单位 2-球面上的圆度量。其中 φ, θ 是由球极投影 r tan(φ/2) = 1, tanθ = y/x 给出的 S² “数学家的”球坐标（许多物理学家偏向于将 φ 和 θ互换）。

曲率性质

在 n = 1 的特例，富比尼–施图迪度量具有恒等于 4 的数量曲率，因为它与 2-球面的圆度量等价（半径 R 球面的数量曲率是 $1/R^2$）。但是，对 n > 1，富比尼–施图迪度量没有常曲率。其截面曲率由下列方程给出

$K(\sigma) = 1 + 3\langle JX,Y \rangle^2$

这里 $\{X,Y\} \in T_p \mathbf{CP}^n$ 是 2-维平面 σ 的一个标准正交基，J : TCPⁿ → TCPⁿ 是 CPⁿ 上的复结构，而 $\langle \cdot , \cdot \rangle$ 是富比尼–施图迪度量。

这个公式的一个推论是任何 2-维平面 $\sigma$ 的截面曲率满足 $1 \leq K(\sigma) \leq 4$。最大的截面曲率 (4) 在一个全纯 2-维平面得到——对这样的平面有 J(σ) ⊂ σ ——而最小截面曲率 (1) 在 J(σ) 垂直于 σ 的2-维平面 σ 得到。因此，富比尼–施图迪度量经常称为有等于 4 的常全纯截面曲率。

这使 CPⁿ 成为一个（非严格的）四分之一拼挤流形（quarter pinched manifold）；一个著名的定理指出严格四分之一拼挤单连通 n-流形一定同胚于球面。

富比尼–施图迪度量也是一个爱因斯坦度量，它与里奇张量成比例：存在一个常数 λ 使得对所有 i,j 我们有

$Ric_{ij} = \lambda g_{ij}.$

除此以外，这蕴含着，在差一个数量相乘的意义下，富比尼–施图迪度量在里奇流下不变。这也使 CPⁿ 与广义相对论不可分离，它是真空爱因斯坦方程的一个非平凡解。

量子力学

富比尼–施图迪度量可以用量子力学中广泛使用的狄拉克符号，或代数几何中的射影簇记号来定义。为了将两种语言清楚地等同起来，令

$\vert \psi \rangle = \sum_{k=0}^n Z_k \vert e_k \rangle = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n]$

这里 $\{\vert e_k \rangle\}$ 是希尔伯特空间的一个正交规范基向量集合，$Z_k$ 是复数，而 $Z_\alpha = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n]$ 是射影空间 $\mathbb{C}P^n$ 中一点在齐次坐标中的标准记号。那么，给定空间中两点 $\vert \psi \rangle = Z_\alpha$ 与 $\vert \phi \rangle = W_\alpha$，它们之间的距离是

$\gamma (\psi, \phi) = \arccos \sqrt \frac {\langle \psi \vert \phi \rangle \; \langle \phi \vert \psi \rangle } {\langle \psi \vert \psi \rangle \; \langle \phi \vert \phi \rangle}$

或等价地，在射影簇记号中，

$\gamma (\psi, \phi) =\gamma (Z,W) = \arccos \sqrt {\frac {Z_\alpha \overline{W}^\alpha \; W_\beta \overline{Z}^\beta} {Z_\alpha \overline{Z}^\alpha \; W_\beta \overline{W}^\beta}}.$

这里 $\overline{Z}^\alpha$ 是 $Z_\alpha$ 的复共轭。分母中出现的 $\langle \psi \vert \psi \rangle$ 提醒了 $\vert \psi \rangle$ 以及类似的 $\vert \phi \rangle$ 不是单位长规范化的；故这里明确地做了一个规范化。在希尔伯特空间中，此度量可相当平凡地理解为两个向量之间的角度；故它又称为量子角（quantum angle）。这个角度是实值的，取值于零到 $\pi/2$。

通过取 $\phi = \psi+\delta\psi$，或等价地 $W_\alpha = Z_\alpha + dZ_\alpha$，马上可以等到这个度量的无穷小形式

$ds^2 = \frac{\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle} {\langle \psi \vert \psi \rangle} - \frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \; \langle \psi \vert \delta \psi \rangle} {{\langle \psi \vert \psi \rangle}^2}.$

在量子力学中，CP¹ 叫做布洛赫球面；富比尼–施图迪度量是量子力学几何化的自然度量。量子力学的许多独特的行为，包括量子纠缠和贝里相位（Berry phase）效应，可以归于富比尼–施图迪度量的特性。

乘积度量

通常的可分性概念适用于富比尼–施图迪度量。更准确地讲，此度量在射影空间的自然乘积塞格雷嵌入（Segre embedding）中是可分的。这是说如果 $\vert\psi\rangle$ 是一个可分态，从而可以写成 $\vert\psi\rangle=\vert\psi_A\rangle\otimes\vert\psi_B\rangle$，则度量是子空间上度量之和：

$ds^2 = {ds_A}^2+{ds_B}^2$

这里 ${ds_A}^2$ 和 ${ds_B}^2$ 是在子空间 A 与 B 上各自的度量。

相关条目

• 非线性σ模型（Non-linear sigma model）
• 卡鲁扎-克莱因理论

参考文献

• Besse, Arthur L., Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag. 1987:  xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8 
• Brody, D.C.; Hughston, L.P., Geometric Quantum Mechanics, Journal of Geometry and Physics. 2001, 38: 19–53, doi:10.1016/S0393-0440(00)00052-8 
• Griffiths, P.; Harris, J., Principles of Algebraic Geometry, Wiley Classics Library, Wiley Interscience. 1994:  30–31, ISBN 0-471-05059-8 
• Onishchik, A.L., Fubini–Study metric//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104 .