富比尼定理

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富比尼定理数学分析中有关重积分的一个定理,以数学家圭多·富比尼命名。富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算双重积分的条件。在这些条件下,不仅能够用逐次积分计算双重积分,而且交换逐次积分的顺序时,积分结果不变。

叙述[编辑]

\int_{A\times B} |f(x,y)|\,d(x,y)<\infty

其中积分是关于空间A\times B积测度,且AB都是σ-有限测度空间,那么

\int_A\left(\int_B f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_B\left(\int_A f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y)

前二者是在两个测度空间上的逐次积分, 但积分次序不同; 第三个是在乘积空间上关于乘积测度的积分。

特别地, 如果f(x,y)=h(x)g(y),则

\int_A h(x)\, dx \int_B g(y)\, dy = \int_{A\times B} h(x)g(y)\,d(x,y).


如果条件中绝对值积分值不是有限,那么上述两个逐次积分的值可能不同。


应用[编辑]

富比尼定理一个应用是计算高斯积分。高斯积分是很多概率论结果的基础:

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}