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實閉域

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數學中,實閉域實封閉域是一類有序域,使得其中每個正元素皆可表為平方,且任何奇數次多項式都有根。以下將給出幾種等價的定義。

定義[编辑]

形式實域[编辑]

假設所論之域的特徵數皆為零。若在一個域F中,-1無法寫成平方和(表法:-1 \neq \sum F^2),則稱F形式實的。

每個有序域都是形式實域;形式實的定義本身不涉及序結構,但藉由實閉包的存在性可證明每個形式實域皆帶序結構。

實封閉域[编辑]

一個實封閉域F若滿足下列等價條件,則稱之實封閉域

  • F上存在一個序結構,使得其中每個正元素皆可表為平方,且任何奇數次多項式都有根。
  • F上存在一個序結構,使之滿足中間值定理
  • 對任意a \in F,或者a \in F^2或者-a \in F^2;且任何奇數次多項式都有根。
  • F非代數封閉,而F(\sqrt{-1})代數封閉。
  • F' \supset FF'是形式實的,則F'=F

我們可以純以代數性質定義實封閉域,並由a > 0 \Leftrightarrow a \in F^2, a \neq 0得到唯一的序結構。

實閉包[编辑]

對任何形式實域F,都存在代數擴張R \subset F,使得R是實封閉的。我們稱RF的一個實閉包。實閉包並不唯一。

若在F上固定一個序結構,並要求R的序結構與之相容;則此時實閉包R存在並唯一,且\mathrm{Aut}(R/F) = \{\mathrm{id}_R\}

例子[编辑]

模型論觀點[编辑]

實封閉域的研究首先由數學家展開,隨後引起了邏輯學家的興趣。採用形式語言\mathcal{L} := \langle +, -, \cdot, > \rangle,設\mathrm{RCF}為實封閉域(帶序結構)的\mathcal{L}-一階理論塔斯基證明了\mathrm{RCF}上有量詞消去;因此任兩個\mathrm{RCF}模型都是初等等價的。一方面,我們可運用\mathbb{R}上的特有工具(微積分、拓樸等等)證明一般實封閉域上的一階句子;另一方面,則可透過適當的域擴張解決\mathbb{R}上的問題,後一方向上最著名的成就是 Abraham Robinson 對希爾伯特第十七問題的證明。

如果改採形式語言\mathcal{L}^- := \langle +, -, \cdot \rangle,並取實封閉域的代數定義\mathrm{RCF}^-,此時則無法消去量詞(在\mathrm{RCF}^-中考慮公式\exists y\; y=x^2)。

R是實封閉域,換言之R \models_\mathcal{L} \mathrm{RCF},根據\mathrm{RCF}上的量詞消去,R上的可定義集只是有限多個線段與孤立點的聯集。此性質稱作O-極小性,它較量詞消去為弱,卻是研究R^n上可定義集的幾何構造之關鍵。

量詞消去也蘊含\mathrm{RCF}的可判定性,然而塔斯基給出的演算法複雜度過高,並不實用。

若承認廣義連續統假設,則可進一步以超積描述實封閉域的性狀。

文獻[编辑]

  • Chang, Chen Chung and Keisler, H. Jerome: Model Theory, North-Holland, 1989.
  • H. Garth Dales and W. Hugh Woodin: Super-Real Fields, Clarendon Press, 1996.
  • Computational Real Algebraic Geometry, Bhubaneswar Mishra, Handbook of Discrete and Computational Geometry, CRC Press, 1997 (Postscript 版本); 亦見 2004 edition, p. 743, ISBN 1-58488-301-4
  • Saugata Basu, Richard Pollack and Marie-Françoise Roy, Algorithms in real algebraic geometry, Springer, Algorithms and computation in mathematics, 2003, ISBN 3540330984 (在線版本)
  • Bob F. Caviness, Jeremy R. Johnson, editors, Quantifier elimination and cylindrical algebraic decomposition, Springer, 1998, ISBN 3211827943