对偶空间

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线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

对偶空間構造是 行向量(1×n)與列向量(n×1)的關係的抽象化。這個結構能夠在無限維度空間進行並為测度,分佈希爾伯特空間提供重要的觀點。对偶空間的應用是泛函分析理論的一特徵。傅立叶變換亦內蘊对偶空間的概念。

代數的对偶空间[编辑]

V為 在F上的向量空間,定義其对偶空間V*為由VF的所有線性函數的集合。 即是V的標量線性變換。V* 本身是F的向量空間並且擁有加法及標量乘法:

 (\phi + \psi )( x ) = \phi ( x ) + \psi ( x ) \,
 ( a \phi ) ( x ) = a \phi ( x ) \,

∀ φ, ψ ∈ V*, ∀ a ∈ F , ∀ x ∈ V. 在張量的語言中,V的元素被稱為反變或逆變(contravariant)向量而V*的元素被稱為共變或協變(covariant)向量、“餘向量”或“同向量”(co-vectors),“线性型”或“一形”(one-form)。

例子[编辑]

如果V是有限維的,V*的維度和V的維度便相等; 如果{e1,...,en}是V的基,V* 便應該有相對基{e1,...,en},記作:


e^i (e_j)= \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{if }i = j \\ 0, & \mbox{if } i \ne j \end{matrix}\right.

如果V是平面幾何向量的空間,V* 便是一組組的平行線。我們能從平行線應用到任何向量產生一個標量。

如果V是無限維度,ei不能產生V* 的基;而V* 的維度比V的大。

例如空間R(ω)的元素是實數列,其擁有很多非零數字。Rω的雙對空間是所有實數數列的空間。這些數列(an)被用於元素(xn)而產生∑nanxn

線性映射的轉置[编辑]

f: V -> W是線性映射。 f轉置tf : W* → V* 定義為


  {}^t f (\phi ) = \phi \circ f \,
   ∀ φ ∈ W*.

對任何向量空間V, W,定義L(V, W)為所有從V到W的線性映射組成的向量空間。f |-> tf 產生從L(V,W)L(W^*,V^*)單射;這是個同構若且唯若W是有限維的。

若 線性映射f表示作其對V, W的基之矩陣A ,則tf表示作其對V^*, W^*的對偶基之轉置矩陣。 若g: W → X是另一線性映射,則t(g o f) = tf o tg.

范畴論的語言裡,為任何向量空間取對偶為任何線性映射取轉置都是向量空間范畴逆變函子

雙線性乘積及对偶空間[编辑]

正如所見,如果V擁有有限維度,V跟V*是同構的,但是该同構并不自然;它是依賴于我们开始所用的V的基。事實上,任意同構Φ (V → V*)在V上定義了一個唯一的非退化的雙線性型:

 \langle v,w \rangle = (\Phi (v))(w) \,

相反地從每個在有限維空間中的非退化的雙線性積可以产生由V映射到V*的同構。

到雙对偶空間内的單射[编辑]

存在一個由V到其雙对偶V**的自然映射Ψ,定義為

(Ψ(v))(φ) = φ(v) ∀ v ∈ V, φ ∈ V*.

Ψ常是單射; 当且仅当V的維數有限時, Ψ是個同構。

連續對偶空間[编辑]

處理拓撲向量空間時,我们一般僅感興趣於該空間射到其基域的連續線性泛函。由此導致連續對偶空間之概念,此乃其代數對偶空間之一子空間。向量空間V之連續對偶記作V′。此脈絡下可逕稱連續對偶為對偶

線性賦範向量空間V(如一巴拿赫空間或一希爾伯特空間)之連續對偶V′產生一線性賦範向量空間。對一V上之連續線性泛函,其範數 ||φ|| 定義為

\|\phi \| = \sup \{ |\phi ( x )| : \|x\| \le 1 \}

此法變一連續對偶為一線性賦範向量空間,實為巴拿赫空間。

例子[编辑]

對任意有限維之線性賦範向量空間拓撲向量空間,正如歐幾里得空間,其連續與代數對偶不二。

令1 < p < ∞為實數,並考慮所有序列a = (an)構成之巴拿赫空間l p,使其範數

\|\mathbf{a}\|_p = \left ( \sum_{n=0}^\infty |a_n|^p \right) ^{1/p}

有限。以1/p + 1/q = 1定義ql p其連續對偶遂自然等同於l q:給定一元素φ ∈ (l p),l q中相應元素為序列 (φ(en)),其中 en謂第n項為1且餘項皆0之序列。反之,給定一元素 a = (an) ∈ l ql p上相應之連續線性泛函φ定為φ(a) = ∑n an bn(對一切a = (an) ∈ l p,見Hölder不等式)。

準此,l 1之連續對偶亦自然同構於l ∞。再者,巴拿赫空間c(賦以上確界範數之全體收斂序列)及c0c中收斂至零者)之連續對偶皆自然同構於l 1

進一步的性質[编辑]

V希爾伯特空間,則其連續對偶亦然,並反同構於V;此蓋黎茲表示定理所明,物理學人賴以描述量子力學狄拉克符號肇端乎是。

類似雙重代數對偶,對連續線性算子亦有連續單射Ψ : VV '',此映射實為等距同構,即 ||Ψ(x)|| = ||x|| 對一切Vx皆真。使Ψ為雙射之空間稱自反空间

連續對偶賦V以一新拓撲,名弱拓撲

V之對偶可分,則V亦可分。反之則不然;試取空間l1,其對偶l不可分。

引用[编辑]