对偶空间

对偶空間構造是 行向量(1×n)與列向量(n×1)的關係的抽象化。這個結構能夠在無限維度空間進行並為测度,分佈及希爾伯特空間提供重要的觀點。对偶空間的應用是泛函分析理論的一特徵。 傅立叶變換亦內蘊对偶空間的概念。

代數的对偶空间

設V為 在域F上的向量空間，定義其对偶空間V^* 為由V到F的所有線性函數的集合。 即是V的標量線性變換。V* 本身是Ｆ的向量空間並且擁有加法及標量乘法：

$(\phi + \psi )( x ) = \phi ( x ) + \psi ( x ) \,$

$( a \phi ) ( x ) = a \phi ( x ) \,$

∀ φ, ψ ∈ V*, ∀ a ∈ F , ∀ x ∈ V. 在張量的語言中,V的元素被稱為逆變(contravariant)向量而V*的元素被稱為協變(covariant)向量，同向量(co-vectors)或一形(one-form)。

例子

如果V是有限維的,V*的維度和V的維度便相等; 如果{e₁,...,e_n}是V的基，V* 便應該有相對基 {e¹,...,eⁿ}，記作：

$e^i (e_j)= \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{if }i = j \\ 0, & \mbox{if } i \ne j \end{matrix}\right.$

如果V 是平面幾何向量的空間，V* 便是一組組的平行線。我們能從平行線應用到任何向量產生一個標量。

如果V是無限維度，eⁱ 不能產生V* 的基;而V* 的維度比V的大。

例如空間R^(ω)的元素是實數列，其擁有很多非零數字。R^ω的雙對空間是所有實數數列的空間。這些數列(a_n) 被用於元素(x_n) 而產生∑_na_nx_n。

線性映射的轉置

設 f: V -> W 是線性映射。 f 的轉置 ^tf : W* → V* 定義為

${}^t f (\phi ) = \phi \circ f \,$

   ∀ φ ∈ W*.

對任何向量空間 $V, W$，定義 $L(V, W)$ 為所有從 V 到 W 的線性映射組成的向量空間。f |-> ^tf 產生從 $L(V,W)$ 至$L(W^*,V^*)$的單射 ；這是個同構若且唯若 W 是有限維的。

若 線性映射 f 表示作其對 $V, W$ 的基之矩陣 A , 則 ^tf 表示作其對 $V^*, W^*$的對偶基之 轉置矩陣。 若 g: W → X 是另一線性映射，則 ^t(g o f) = ^tf o ^tg.

在范畴論的語言裡,為任何向量空間取對偶及為任何線性映射取轉置 都是向量空間范畴的逆變函子。

雙線性乘積及对偶空間

正如所見，如果V擁有有限維度，V跟V*是同構的，但是该同構并不自然；它是依賴于我们开始所用的V的基。事實上，任意同構Φ (V → V*) 在V上定義了一個唯一的非退化的雙線性型：

$\langle v,w \rangle = (\Phi (v))(w) \,$

相反地從每個在有限維空間中的非退化的雙線性積可以产生由V映射到V*的同構。

到雙对偶空間内的單射

存在一個由V到其雙对偶V**的自然映射Ψ ，定義為

(Ψ(v))(φ) = φ(v) ∀ v ∈ V, φ ∈ V*.

Ψ 常是單射; 当且仅当V的維數有限時, Ψ 是個同構。

連續對偶空間

處理拓撲向量空間時，我们一般僅感興趣於該空間射到其基域的 連續線性泛函。由此導致連續對偶空間之概念，此乃其代數對偶空間之一子空間。向量空間 V 之連續對偶記作 V′。此脈絡下可逕稱連續對偶為對偶。

線性賦範向量空間 V （如一巴拿赫空間或一希爾伯特空間）之連續對偶 V′ 產生一線性賦範向量空間。對一 V 上之連續線性泛函，其範數 ||φ|| 定義為

$\|\phi \| = \sup \{ |\phi ( x )| : \|x\| \le 1 \}$

此法變一連續對偶為一線性賦範向量空間，實為巴拿赫空間。

例子

對任意有限維之 線性賦範向量空間或拓撲向量空間，正如歐幾里得空間，其連續與代數對偶不二。

令 1 < p < ∞ 為實數，並考慮所有序列 a = (a_n) 構成之巴拿赫空間 l ^p，使其範數

$\|\mathbf{a}\|_p = \left ( \sum_{n=0}^\infty |a_n|^p \right) ^{1/p}$

有限。以 1/p + 1/q = 1 定義 q， l ^p 其連續對偶遂自然等同於 l ^q：給定一元素 φ ∈ (l ^p)， l ^q 中相應元素為序列 (φ(e_n)) ，其中 e_n 謂第 n 項為 1 且餘項皆 0 之序列。反之，給定一元素 a = (a_n) ∈ l ^q，l ^p 上相應之連續線性泛函 φ 定為 φ(a) = ∑_n a_n b_n （對一切 a = (a_n) ∈ l ^p）(見 Hölder不等式)。

準此， l ¹之連續對偶亦自然同構於 l ^∞。再者，巴拿赫空間 c （賦以上確界範數之全體收斂序列）及c₀（c 中收斂至零者）之連續對偶皆自然同構於 l ¹。

進一步的性質

若 V 為希爾伯特空間，則其連續對偶亦然，並反同構於 V；此蓋黎茲表示定理所明，物理學人賴以描述量子力學之狄拉克符號肇端乎是。

類似雙重代數對偶，對連續線性算子亦有連續單射 Ψ : V → V ''，此映射實為等距同構，即 ||Ψ(x)|| = ||x|| 對一切 V 中 x 皆真。使 Ψ 為雙射之空間稱自反空間。

連續對偶賦 V 以一新拓撲，名弱拓撲。

若 V 之對偶可分，則 V 亦可分。反之則不然；試取空間 l₁，其對偶 l_∞ 不可分。

引用

• Bourbaki, Nicolas. Elements of mathematics, Algebra I. Springer-Verlag. 1989. ISBN 3-540-64243-9. 
• Paul Halmos. Finite dimensional vector spaces. Springer. 1974. ISBN 0387900934. 
• Walter Rudin. Functional analysis. McGraw-Hill Science. 1991. ISBN 978-0070542365.