对偶 (数学)

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数学领域中,对偶一般来说是以一对一的方式,常常(但并不总是)通过某个对合算子,把一种概念、公理或数学结构转化为另一种概念、公理或数学结构:如果A的对偶是B,那么B的对偶是A。由于对合有时候会存在不动点,因此A的对偶有时候会是A自身。比如射影几何中的笛沙格定理,即是在这一意义下的自对偶。

对偶在数学背景当中具有很多种意义,而且,尽管它是“现代数学中极为普遍且重要的概念(a very pervasive and important concept in (modern) mathematics)”[1]并且是“在数学几乎每一个分支中都会出现的重要的一般性主题(an important general theme that has manifestations in almost every area of mathematics)”[2],但仍然没有一个能把对偶的所有概念统一起来的普适定义。[2]

在两类对象之间的对偶很多都和配对(pairing),也就是把一类对象和另一类对象映射到某一族标量上的双线性函数相对应。例如,线性代数的对偶对应着把线性空间中的向量对双线性映射到标量上,广义函数及其相关的试验函数也对应着一个配对且在该配对中可用试验函数来对广义函数进行积分,庞加莱对偶从给定流形的子流形之间的配对的角度看同样也对应着交数[3]

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本人给出如下严格定义:

对任意对象A和B,若存在一个函数f, 使得 f(A) = B 并且 f(B) = A,那么就称 A 为 f 下 B 的对偶,B 为 f 下 A 的对偶, 并称f为A和B的对偶函数或对偶运算

这里的函数f就是一种运算,本定义明确了对偶概念中运算f的核心地位,也就是对偶到底是相对于什么运算f而言的,而我们普通自然语言中经常说的对偶关系在这点上是含混不清的。

在此定义下,自然地蕴涵如下意义:对偶表达的是两个对象之间的由运算f决定的关系,此关系是对称的:A是B在运算f下的对偶,那么B也是A在此运算f下的对偶,对A施行连续两次对偶运算f就是自身A。

若A=B, 那运算f 本质上就是A 的不动点函数:f(A)=A

举例说明:
任意一个字符串 A, 以及对字符串施行倒置的运算f, 那么 B=f(A) 就是A 的倒置字符串。此时A和B就是在倒置运算f下的彼此对偶了。不失一般性,令 A="abcdefg", 那么 B=f(A)="gfedcba",可以清楚地看到A和B在f下的对偶性。令 A="abcdcba", 那么 B=f(A)=A, 此时f 就是A 的不动点运算函数。

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序逆对偶[编辑]

一种特别简单的对偶形式来自于序理论。偏序关系P = (X, ≤)的对偶是由同一偏序集组成但关系相反的偏序关系Pd。我们比较熟悉的对偶偏序的例子有:

  • 任何集合簇上的子集和超集关系\subset\supset
  • 整数上的因数倍数关系;
  • 人类集合上的后代祖先关系。

为某一偏序P定义的概念会对应到对偶偏序集Pd对偶概念上。例如,P极小元对应于Pd极大元:极小和极大是序理论中的对偶概念。序理论中的其他对偶概念还包括上界下界上闭集合下闭集合理想滤子

一种特殊的序逆对偶存在于某个集合S的幂集合中:若\bar A=S\setminus A表示补集,则A\subset B当且仅当\bar B\subset \bar A。在拓扑学中,开集闭集是对偶概念:开集的补是闭的,反之亦然。在拟阵论中,某个给定拟阵的独立集合的补集簇形成另一个拟阵,称作对偶拟阵。在逻辑中,我们可以把非量化公式中变量的成真赋值表示为对该赋值为真的变量集合。成真赋值满足该公式当且仅当该成真赋值的补满足该公式的德·摩根定律。逻辑中的全称量词和存在量词也是类似的对偶。

偏序可以解释为范畴,在该范畴中存在从xy的arrow当且仅当偏序中有x ≤ y。偏序的序逆对偶可扩展为对偶范畴的概念,即由给定范畴中所有arrow的逆所组成的范畴。后面将要描述的很多具体的对偶都是在此意义下的范畴的对偶。

维逆对偶[编辑]

The features of the cube and its dual octahedron correspond one-for-one with dimensions reversed.

存在着很多种不同但互相联系的在同一类几何或拓扑对象之间的对偶,不过具有对偶关系的对象在特征维数上是相反的。这方面的经典例子是正多面体的对偶,其中立方体和正八面体形成了一个对偶配对,正十二面体和正二十面体形成了另一个对偶配对,而正四面体是自对偶的。任何一種這類多面體的對偶多面體可作為主要多面體每一面中心點的凸包

相关条目[编辑]

Notes[编辑]

  1. ^ Kostrikin 2001
  2. ^ 2.0 2.1 Gowers 2008,p. 187, col. 1
  3. ^ Gowers 2008,p. 189, col. 2

參考資料[编辑]