对数恒等式

在数学中，有许多对数恒等式。

代数恒等式

简化计算

对数可以用来简化计算。例如，两个数可以只通过查表和相加而得到乘积。

$\,\log_\theta xy=\log_{\theta}x+\log_{\theta}y$	因为	$\,\theta^x\theta^y=\theta^{x+y}$
$\log_\theta\frac{x}{y}= \log_{\theta}x-\log_{\theta}y$		$\frac{\theta^x}{\theta^y}=\theta^{x-y}$
$\,\log_\theta x^y=y\log_\theta x$		$\,{\theta^x}^y=\theta^{xy}$
$\log_\theta\sqrt[y]{x}=\frac{\log_{\theta}x}{y}$		$\sqrt[y]{x}=x^\frac{1}{y}$
$\,\log_\theta-x=\log_\theta x+\pi i\log_\theta e$		歐拉恆等式：$\,e^{\pi i}+1=0$

消去指数

同底的对数和指数会彼此消去。这是因为对数和指数是互逆运算（就像乘法和除法那样）。

$b^{\log_b(x)} = x$	因为	$\mathrm{antilog}_b(\log_b(x)) = x \!\,$
$\log_b(b^x) = x \!\,$	因为	$\log_b(\mathrm{antilog}_b(x)) = x \!\,$

换底公式

$\log_\theta x=\frac{\log_\phi x}{\log_\phi\theta}$

在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如，大多数计算器有ln和log₁₀的按钮，但却没有log₂的。要计算log₂(3)，你只有计算log₁₀(3) / log₁₀(2)（或 ln(3)/ln(2)，两者结果一样）。

这个公式有许多推论：

$\log_a b = \frac {1} {\log_b a}$

$\log_{a^n} b = {{\log_a b} \over n}$

$a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$

$\log_{a_1}b_1 \,\cdots\, \log_{a_n}b_n = \log_{a_{\pi(1)}}b_1\, \cdots\, \log_{a_{\pi(n)}}b_n, \,$

$\scriptstyle\pi\,$ 是下标 1, ..., n 的任意的排列。例如

$\log_a w\cdot \log_b x\cdot \log_c y\cdot \log_d z = \log_d w\cdot \log_a x\cdot \log_b y\cdot \log_c z. \,$

和/差公式

下面的和/差规则对概率论中的对数化概率的计算非常有用：

$\log_\theta(\Chi\pm\Upsilon)=\log_\theta\Chi+\log_\theta(1\pm\theta^{\log_\theta\Upsilon- \log_\theta\Chi})$

注意在使用时如果$\,\Chi<\Upsilon$，等式右边的$\,\Chi$和$\,\Upsilon$必须互换。在$\,\Chi=\Upsilon$时，因为0的对数无定义，所以此时减法等式无定义。

普通恒等式

$\log_b(1) = 0 \!\,$	因为	$b^0 = 1\!\,$
$\log_b(b) = 1 \!\,$	因为	$b^1 = b\!\,$

注意 $\log_b(0) \!\,$ 无定义，因为没有一个数 $x \!\,$ 使 $b^x = 0 \!\,$ 成立。

微积分恒等式

极限

$\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty \quad \mbox{if } a > 1$

$\lim_{x \to 0^+} \log_a x = \infty \quad \mbox{if } a < 1$

$\lim_{x \to \infty} \log_a x = \infty \quad \mbox{if } a > 1$

$\lim_{x \to \infty} \log_a x = -\infty \quad \mbox{if } a < 1$

$\lim_{x \to 0^+} x^b \log_a x = 0$

$\lim_{x \to \infty} {1 \over x^b} \log_a x = 0$

最后一个极限经常被总结为“x 的对数增长得比 x 的任何次方或方根都慢”。

注意：说函数的极限“等于无穷大”是不严密的，因为“无穷大”不是数。上面右边是无穷大的等式的意思是，函数可以无限制的增加/减少。

对数函数的导数

${d \over dx} \ln x = {1 \over x } = {\ln e \over x }$

积分定义

$\ln x = \int_1^x \frac {1}{t} dt$

对数函数的积分

$\int \log_a x \, dx = x(\log_a x - \log_a e) + C$

为了记忆积分，可以方便的定义：

$x^{\left [n \right]} = x^{n}(\log(x) - H_n)$

$x^{\left [ 0 \right ]} = \log x$

$x^{\left [ 1 \right ]} = x \log(x) - x$

$x^{\left [ 2 \right ]} = x^2 \log(x) - \begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix} \, x^2$

$x^{\left [ 3 \right ]} = x^3 \log(x) - \begin{matrix} \frac{11}{6} \end{matrix} \, x^3$

于是，

$\frac {d}{dx} \, x^{\left [ n \right ]} = n \, x^{\left [ n-1 \right ]}$

$\int x^{\left [ n \right ]}\,dx = \frac {x^{\left [ n+1 \right ]}} {n+1} + C$

求大数的近似数

对数恒等式可以用来求大数的近似数。 假设我们要得到第44个梅森质数 2^32,582,657 - 1 的近似值。先取对数（-1被忽略），2^32,582,657 以10为底的对数等于 32,582,657 与 log₁₀(2) 的乘积，计算得到 9,808,357.09543 = 9,808,357 + 0.09543。再取指数消去对数，得到最后结果为 10^9,808,357 * 10^0.09543 ≈ 1.25 * 10^9,808,357.

类似地，阶乘的结果可以用每项的对数之和来近似。