对数正态分布

对数正态分布

機率 密度 函數 μ=0
累積分布函數 μ=0
參數	$\sigma \ge 0$ $-\infty \le \mu \le \infty$
值域	$x \in [0; +\infty)\!$
概率密度函数	$\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{\left[\ln(x)-\mu\right]^2}{2\sigma^2}\right)$
累積分布函數	$\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right]$
标记	{{{notation}}}
期望值	$e^{\mu+\sigma^2/2}$
中位數	$e^{\mu}$
眾數	$e^{\mu-\sigma^2}$
方差	$(e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}$
偏態	$(e^{\sigma^2}\!\!+2)\sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}$
峰態	$e^{4\sigma^2}\!\!+2e^{3\sigma^2}\!\!+3e^{2\sigma^2}\!\!-6$
熵值	$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^2) + \mu$
動差生成函數	(参见原始动差文本)
特徵函數	$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}$is asymptotically divergent but sufficient for numerical purposes

在概率论与统计学中，对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果 X 是正态分布的随机变量，则 exp(X) 为对数正态分布；同样，如果 Y 是对数正态分布，则 ln(Y) 为正态分布。 如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。 对于 $x>0$，对数正态分布的概率密度函数为

$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/2\sigma^2}$

其中 $\mu$ 与 $\sigma$ 分别是变量对数的平均值与標準差。它的期望值是

$\mathrm{E}(X) = e^{\mu + \sigma^2/2}$

方差为

$\mathrm{var}(X) = (e^{\sigma^2} - 1) e^{2\mu + \sigma^2}.\,$

给定期望值与标准差，也可以用这个关系求 $\mu$ 与 $\sigma$

$\mu = \ln(\mathrm{E}(X))-\frac{1}{2}\ln\left(1+\frac{\mathrm{var}(X)}{\mathrm{E}(X)^2}\right),$

$\sigma^2 = \ln\left(1+\frac{\mathrm{var}(X)}{\mathrm{E}(X)^2}\right).$

与几何平均值和几何标准差的关系

对数正态分布、几何平均数与几何标准差是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于 $\exp(\mu)$，几何平均差等于 $\exp(\sigma)$。

如果采样数据来自于对数正态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。

置信区间界	对数空间	几何
3σ 下界	$\mu - 3\sigma$	$\mu_\mathrm{geo} / \sigma_\mathrm{geo}^3$
2σ 下界	$\mu - 2\sigma$	$\mu_\mathrm{geo} / \sigma_\mathrm{geo}^2$
1σ 下界	$\mu - \sigma$	$\mu_\mathrm{geo} / \sigma_\mathrm{geo}$
1σ 上界	$\mu + \sigma$	$\mu_\mathrm{geo} \sigma_\mathrm{geo}$
2σ 上界	$\mu + 2\sigma$	$\mu_\mathrm{geo} \sigma_\mathrm{geo}^2$
3σ 上界	$\mu + 3\sigma$	$\mu_\mathrm{geo} \sigma_\mathrm{geo}^3$

其中几何平均数 $\mu_\mathrm{geo} = \exp(\mu)$，几何标准差 $\sigma_\mathrm{geo} = \exp(\sigma)$

矩

原始矩为：

$\mu_1=e^{\mu+\sigma^2/2}$

$\mu_2=e^{2\mu+4\sigma^2/2}$

$\mu_3=e^{3\mu+9\sigma^2/2}$

$\mu_4=e^{4\mu+16\sigma^2/2}$

或者更为一般的矩

$\mu_k=e^{k\mu+k^2\sigma^2/2}.$

局部期望

随机变量 $X$ 在阈值 $k$ 上的局部期望定义为

$g(k)=\int_k^\infty (x-k) f(x)\, dx$

其中 $f(x)$ 是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为

$g(k)=\exp(\mu+\sigma^2/2)\Phi\left(\frac{-\ln(k)+\mu+\sigma^2}{\sigma}\right)-k \Phi\left(\frac{-\ln(k)+\mu}{\sigma}\right)$

其中 $\Phi$ 是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用。

参数的最大似然估计

为了确定对数正态分布参数 μ 与 σ 的最大似然估计，我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看

$f_L (x;\mu, \sigma) = \frac 1 x \, f_N (\ln x; \mu, \sigma)$

其中用 $f_L (\cdot)$ 表示对数正态分布的概率密度函数，用 $f_N (\cdot)$— 表示正态分布。因此，用与正态分布同样的指数，我们可以得到对数最大似然函数：

$\begin{matrix} \ell_L (\mu,\sigma | x_1, x_2, ..., x_n) & = & - \sum _k \ln x_k + \ell_N (\mu, \sigma | \ln x_1, \ln x_2, \dots, \ln x_n) = \\ \\ \ & = & \operatorname {constant} + \ell_N (\mu, \sigma | \ln x_1, \ln x_2, \dots, \ln x_n). \end{matrix}$

由于第一项相对于 μ 与 σ 来说是常数，两个对数最大似然函数 $\ell_L$ 与 $\ell_N$ 在同样的 μ 与 σ 处有最大值。因此，根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程，我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计

$\widehat \mu = \frac {\sum_k \ln x_k} n, \ \widehat \sigma^2 = \frac {\sum_k {\left( \ln x_k - \widehat \mu \right)^2}} n.$

相关分布

• 如果 $Y = \ln(X)$ 与 $X \sim \operatorname{Log-N}(\mu, \sigma^2)$，则 $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$ 是正态分布。
• 如果 $X_m \sim \operatorname {Log-N} (\mu, \sigma_m^2), \ m = \overline {1 ... n}$ 是有同样 μ 参数、而 σ 可能不同的统计独立对数正态分布变量 ，并且 $Y = \prod_{m=1}^n X_m$，则 Y 也是对数正态分布变量：$Y \sim \operatorname {Log-N} \left( n\mu, \sum _{m=1}^n \sigma_m^2 \right)$。

进一步的阅读资料

• Robert Brooks, Jon Corson 以及 J. Donal Wales 的 "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion", in Advances in Futures and Options Research, volume 7, 1994.

参考文献

• 对数正态分布, Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957)
• Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues, E. Limpert, W. Stahel and M. Abbt,. BioScience, 51 (5), p. 341–352 (2001).
• 对数正态分布特性, John Hull, in Options, Futures, and Other Derivatives 6E (2005). ISBN 0-13-149908-4
• Eric W. Weisstein et al. 对数正态分布 at MathWorld. Electronic document, 2006年10月26日造訪.

参见

• 几何平均数
• 几何标准差
• 误差函数